江苏省宿迁市宿豫区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列手机应用的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在实数，，，，π中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）点P（a，3﹣a）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜3 C．0＜a＜3 D．﹣3＜a＜0 4．（3分）已知点，（1，y2）都在直线上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 5．（3分）若，则一次函数y＝（m﹣2）x+2﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（　　） A．△ABC≌△CDE B．∠CAB＝∠DCE C．AB⊥CD D．E为BC中点 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△ABC的周长为12，BC＝3，则△BCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 8．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，EF垂直平分AC，交AC、AB于点E、F．若点D为BC上一动点，点M为EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数27的立方根是　 　． 10．（3分）比较大小：4 　 　（填“＞”或“＜”）． 11．（3分）若点P（3，m）到x轴的距离是5，则点P的坐标是　 　． 12．（3分）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2，则y与x的函数表达式是 　 　． 13．（3分）如图，∠A＝∠D＝90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件　 　即可． 14．（3分）直线y＝﹣2x+1沿y轴向下平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为　 　． 15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，在AC边的右侧作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，连接BD，则∠ABD的度数为　 　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　 　． 17．（3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的函数解析式是　 　． 18．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝2，点O是AB的中点，∠AOC＝60°，点P是射线CO上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　 　． 三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）已知一次函数y＝mx+2m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）若该函数的图象经过原点，求一次函数表达式； （2）当m＞1时，该函数图象不经过第 　 　象限． 21．（8分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 22．（8分）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 23．（10分）已知：如图，线段AB和射线AM有公共端点A． （1）尺规作图：在射线AM取一点P，使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连接PB，过P作射线PD，使PD平分∠BPM；（保留作图痕迹） （2）若∠BAM＝55°，求∠BPD的度数． 24．（10分）如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，直线y＝﹣2x﹣2交x轴于点D，与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值与求直线AB的解析式； （2）根据图像，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集； （3）求四边形OBCD的面积． 25．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠ACB＝90°，点D以每秒1cm/s的速度由B向点C运动，DE⊥AB于点E，点M为AD的中点． （1）求证：△CME为等腰直角三角形； （2）当点D运动2秒时，求CE的长． 26．（10分）某商场销售一台A型冰箱的利润为100元，销售一台B型冰箱的利润为160元．该商场计划一次购进两种型号的冰箱共80台，其中B型冰箱的进货量不超过A型冰箱的3倍，设购进A型冰箱x台，这80台冰箱的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商场购进A型、B型冰箱各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 27．（12分）【操作】（1）将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1．若∠C﹣∠B＝28°，则∠BDE＝　 　°； 【思考】（2）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF＝3，AC＝6，S△ABC＝21，求边AB的长； 【延伸】（3）如图3，设Q为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PQ、PC． ①试说明：PQ+PC与EQ大小关系； ②若点Q是AC的中点，且∠BAC＝60°，AC＝6．求EQ长． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B． （1）求直线AB的函数表达式； （2）将直线AB绕点A逆时针旋转45°，交y轴于点C，求直线AC的函数表达式； （3）点P是（2）中直线AC上一点，若∠POC＝∠ABO，求点P的坐标． 2024-2025学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C A D C C 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列手机应用的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）在实数，，，，π中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：是有理数， 无理数：，π，共2个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 3．（3分）点P（a，3﹣a）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜3 C．0＜a＜3 D．﹣3＜a＜0 【答案】A 【分析】点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0． 【解答】解：∵点M（a，3﹣a）是第二象限的点， ∴a＜0，3﹣a＞0， 解得：a＜0， 故选：A． 【点评】本题主要考查点在第二象限时点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题． 4．（3分）已知点，（1，y2）都在直线上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质得到y随x的增大而增大，根据1得到答案即可． 【解答】解：∵函数中，k0， ∴y随x的增大而增大， ∵函数图象经过点点，（1，y2）， 1， ∴y1＜y2， 故选：C． 【点评】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键． 5．（3分）若，则一次函数y＝（m﹣2）x+2﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出m的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：由题意得，m＞2， ∴2﹣m＜0， ∴一次函数y＝（m﹣2）x+2﹣m经过第一三四象限， 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（　　） A．△ABC≌△CDE B．∠CAB＝∠DCE C．AB⊥CD D．E为BC中点 【答案】D 【分析】根据HL可以证出Rt△ACB≌Rt△CED，然后即可说明各个选项中的条件是否成立，本题得以解决． 【解答】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°， ∴△ACB和△CED都是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△CED中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△CED（HL），故选项A正确，不符合题意； ∴∠CAB＝∠DCE，故选项B正确，不符合题意； ∠B＝∠D， ∵∠DEB＝90°，∠EFB＝∠DFA， ∴∠B+∠EFB＝90°， ∴∠D+∠DFA＝90°， ∴AB⊥CD，故选项C正确，不符合题意； 无法证明CE和BE是否相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是证出△ACB≌△CED． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△ABC的周长为12，BC＝3，则△BCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：设AB＝x， ∵△ABC的周长为12， ∴AB+AC+BC＝12， ∵BC＝3， ∴AB+AC＝9， ∴AC＝9﹣x， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即x2＝（9﹣x）2+32， 解得：x＝5，即AB＝5， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝3+5＝8， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理、线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，EF垂直平分AC，交AC、AB于点E、F．若点D为BC上一动点，点M为EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据勾股定理求解． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，交EF于M， ∵EF垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∴CM+DM＝AM+DM≥AD， 此时，AD是CM+DM的最小值， ∵AB＝AC＝13，AD⊥BC， ∴BDBC＝5， ∴AD12， 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数27的立方根是　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【解答】解：∵3的立方等于27， ∴27的立方根等于3． 故答案为3． 【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 10．（3分）比较大小：4 　＞　（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞． 【分析】根据4，再由16＞11即可得出结论． 【解答】解：4， ∵16＞11， ∴，即4． 故答案为：＞． 【点评】本题考查的是实数的大小比较及算术平方根，熟知实数大小比较的法则是解题的关键． 11．（3分）若点P（3，m）到x轴的距离是5，则点P的坐标是　（3，5）或（3，﹣5）　． 【答案】（3，5）或（3，﹣5）． 【分析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（3，m）到x轴的距离是5， ∴|m|＝5， ∴m＝±5， ∴点P的坐标是（3，5）或（3，﹣5）． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 12．（3分）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2，则y与x的函数表达式是 　y＝﹣2x　． 【答案】y＝﹣2x． 【分析】设y与x的函数关系式是y＝kx，再根据当x＝1时，y＝﹣2，即可根据待定系数法求得结果． 【解答】解：设y与x的函数关系式是设y＝kx， ∵当x＝1时，y＝﹣2， ∴k＝﹣2， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x， 故答案是：y＝﹣2x． 【点评】本题考查了正比例函数的解析式，解题的关键是求出k的值． 13．（3分）如图，∠A＝∠D＝90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件　∠ABC＝∠DCB，本题答案不唯一　即可． 【答案】见试题解答内容 【分析】添加的条件是∠ABC＝∠DCB，根据全等三角形的判定定理AAS即可求出答案． 【解答】解：添加的条件是∠ABC＝∠DCB， 理由是：在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故答案为：∠ABC＝∠DCB．本题答案不唯一． 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 14．（3分）直线y＝﹣2x+1沿y轴向下平移3个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为　（﹣1，0）　． 【答案】（﹣1，0）． 【分析】根据直线y＝﹣2x+1沿y轴向下平移3个单位后直线为y＝﹣2x+1﹣3，即y＝﹣2x﹣2，即可得平移后直线y＝﹣2x﹣2与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【解答】解：直线y＝﹣2x+1沿y轴向下平移3个单位，则平移后直线为y＝﹣2x+1﹣3，即y＝﹣2x﹣2， 则平移后直线y＝﹣2x﹣2与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了直线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，在AC边的右侧作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，连接BD，则∠ABD的度数为　45°　． 【答案】45°． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，CA＝CB，根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CD，得到CB＝CD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，CA＝CB， ∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝90°， ∴CA＝CD，∠BCD＝60°+90°＝150°， ∴CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB（180°﹣150°）＝15°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　2　． 【答案】2． 【分析】由勾股定理求出DE＝2，再由角平分线的定义和平行线的性质证明∠ADE＝∠EAD，然后由等腰三角形的判定得出AE＝DE＝2即可． 【解答】解：在Rt△CDE中，∠C＝90°，CE＝1，， 由勾股定理得：DE2， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠EAD， ∴AE＝DE＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握勾股定理，证明AE＝DE是解题的关键． 17．（3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的函数解析式是　y　． 【答案】y． 【分析】由解析式先求出点A、B坐标，利用勾股定理求出线段AB长，根据对称性质及勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，求出M坐标，利用待定系数法求出直线AM解析式即可． 【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B， ∴A（﹣6，0），B（0，8）， 在Rt△AOB中，由勾股定理可知： AB10， 由折叠性质可知AB′＝10， ∴OB′＝10﹣6＝4， 设OM＝x，则MB′＝8﹣x，由勾股定理得： x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3， ∴M（0，3）， 设直线AM解析式为y＝kx+3，代入点A坐标得： ﹣6k+3＝0，解得k， ∴直线AM的函数解析式是y． 故答案为：y． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 18．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝2，点O是AB的中点，∠AOC＝60°，点P是射线CO上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 　或或1　． 【答案】或或1． 【分析】根据∠AOC＞∠PAB，∠AOC＝60°得当△PAB为直角三角形时，有以下两种情况：（1）当∠ABP＝90°时，在Rt△OPB中，根据∠AOC＝∠POB＝60°得∠OPB＝90°﹣∠POB＝30°，则OP＝2OB＝2，进而得PB，然后再由勾股定理即可求出AP的长；（2）当∠APB＝90°时，又有以下两种情况：①当点P在CO的延长线上时，证明△POB是等边三角形得PB＝OB＝1，然后再由勾股定理即可求出AP的长；②当点P在线段CO上时，同理可证明△PAOA是等边三角形，则AP＝OA＝1，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵∠AOC＞∠PAB，∠AOC＝60°， ∴60°＞∠PAB， ∴当△PAB为直角三角形时，有以下两种情况： （1）当∠ABP＝90°时，如图1所示： ∴BA＝BC＝2，点O是AB的中点， ∴OBBA＝1， 在Rt△OPB中，∠AOC＝∠POB＝60°， ∴∠OPB＝90°﹣∠POB＝30°， ∴OP＝2OB＝2， 由勾股定理得：PB， 在Rt△PAB中，由勾股定理得：AP； （2）当∠APB＝90°时，又有以下两种情况： ①当点P在CO的延长线上时，如图2所示： 在Rt△PAB中，点O是斜边AB的中点， ∴OA＝OB＝OPBA＝1， ∵∠AOC＝∠POB＝60°， ∴△POB是等边三角形， ∴PB＝OB＝1， 在Rt△PAB中，由勾股定理得：AP， ②当点P在线段CO上时，如图3所示： 同理可证明：△PAOA是等边三角形， ∴AP＝OA＝1． 综上所述：当△PAB为直角三角形时，AP的长为或或1． 【点评】本题主要等边三角形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 【答案】6． 【分析】先根据算术平方根、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【解答】解： ＝8+（﹣3）+1 ＝6． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（8分）已知一次函数y＝mx+2m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）若该函数的图象经过原点，求一次函数表达式； （2）当m＞1时，该函数图象不经过第 　四　象限． 【答案】（1）y＝x； （2）四． 【分析】（1）把原式坐标代入y＝mx+2m﹣2中求出m，从而得到一次函数解析式； （2）根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝mx+2m﹣2得2m﹣2＝0， 解得m＝1， 所以一次函数解析式为y＝x； 故答案为：y＝x； （2）∵m＞1， ∴2m﹣2＞0， ∴一次函数y＝mx+2m﹣2的图象经过第一、二、三象限， 即一次函数y＝mx+2m﹣2的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． 21．（8分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 【答案】见试题解答内容 【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴CF∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（8分）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 【答案】见解析． 【分析】画一个△ABC中，AB，AC，BC即可． 【解答】解：如图，△ABC中，AB，AC，BC． ∵AB+AC＞BC， ∴． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 23．（10分）已知：如图，线段AB和射线AM有公共端点A． （1）尺规作图：在射线AM取一点P，使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连接PB，过P作射线PD，使PD平分∠BPM；（保留作图痕迹） （2）若∠BAM＝55°，求∠BPD的度数． 【答案】（1）图形见解答； （2）55°． 【分析】（1）作AB的垂直平分线交射线AM于点P，即可使△APB是以AB为底边的等腰三角形，然后射线PD，使PD平分∠BPM即可； （2）根据∠BAM＝55°，利用三角形的外角定义即可求∠BPD的度数． 【解答】解：（1）如图，点P，射线PD即为所求； （2）由（1）知：PA＝PB， ∴∠B＝∠BAM＝55°， ∵PD平分∠BPM， ∴∠MPD＝∠BPD， ∵∠MPB＝∠PAB+∠B， ∴∠MPD+∠BPD＝∠PAB+∠B， ∴∠BPD＝∠BAM＝55°． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 24．（10分）如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，直线y＝﹣2x﹣2交x轴于点D，与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值与求直线AB的解析式； （2）根据图像，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集； （3）求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）y＝x+4； （2）x＜﹣2； （3）5． 【分析】（1）把C（m，2）代入y＝﹣2x﹣2可求出m的值，从而得到C点坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式； （2）结合函数图象，写出直线y＝﹣2x﹣2在直线y＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可； （3）先确定B（0，4），D（﹣1，0），然后根据三角形面积公式，利用四边形OBCD的面积＝S△AOB﹣S△CAD进行计算即可． 【解答】解：（1）把C（m，2）代入y＝﹣2x﹣2得﹣2m﹣2＝2， 解得m＝﹣2， 把C（﹣2，2），A（﹣4，0）分别代入y＝kx+b得， 解得k＝1，b＝4， ∴直线AB的解析式为y＝x+4； （2）当x＜﹣2时，﹣2x﹣2＞kx+b， 即关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集为x＜﹣2； （3）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，﹣2x﹣2＝0， 解得x＝﹣1， ∴D（﹣1，0）， ∴四边形OBCD的面积＝S△AOB﹣S△CAD4×43×2＝5． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 25．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠ACB＝90°，点D以每秒1cm/s的速度由B向点C运动，DE⊥AB于点E，点M为AD的中点． （1）求证：△CME为等腰直角三角形； （2）当点D运动2秒时，求CE的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）5cm． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质推出CM＝ME，由线段中点定义得到AMAD，因此AM＝CM＝ME，由等腰三角形的性质推出∠CAM＝∠ACM，∠MAE＝∠MEA，由三角形的外角性质得到∠CME＝2∠CAB，判定△ACB是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，求出∠CME＝90°，即可证明△MCE是等腰直角三角形； （2）由勾股定理求出AD10（cm），由直角三角形斜边中线的性质得到CMAD＝5（cm），即可得到CE的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB， ∴∠ACD＝∠AED＝90°， ∵M是AD中点， ∴CMAD，MEAD， ∴CM＝ME， ∵AMAD， ∴AM＝CM＝ME， ∴∠CAM＝∠ACM，∠MAE＝∠MEA， ∴∠CMD＝∠CAM+∠ACM＝2∠CAM，∠DME＝∠MAE+∠MEA＝2∠MAE， ∴∠CMD+∠DME＝2（∠CAM+∠MAE）， ∴∠CME＝2∠CAB， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠CME＝90°， ∴△MCE是等腰直角三角形； （2）解：当点D运动2秒时，BD＝1×2＝2（cm）， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣2＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°，AC＝8cm， ∴AD10（cm）， ∴CMAD＝5（cm）， ∵△MCE是等腰直角三角形， ∴CECM＝5（cm）． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，等腰直角三角形，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CM＝ME． 26．（10分）某商场销售一台A型冰箱的利润为100元，销售一台B型冰箱的利润为160元．该商场计划一次购进两种型号的冰箱共80台，其中B型冰箱的进货量不超过A型冰箱的3倍，设购进A型冰箱x台，这80台冰箱的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商场购进A型、B型冰箱各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）y＝﹣60x+12800（20≤x≤80）； （2）购进A型冰箱20台、B型冰箱60台，11600元． 【分析】（1）根据题意，列出关于x的一元一次不等式并求出其解集；根据“总利润＝一台A型冰箱的利润×购进A型冰箱的数量+一台B型冰箱的利润×购进B型冰箱的数量”写出y关于x的函数解析式即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定x取何值时y值最大，求出其最大值及此时80﹣x的值即可． 【解答】解：（1）80﹣x≤3x， 解得x≥20， ∴20≤x≤80； y＝100x+160（80﹣x）＝﹣60x+12800． 答：y关于x的函数解析式为y＝﹣60x+12800（20≤x≤80）． （2）∵﹣60＜0， ∴y随x的减小而增大， ∵20≤x≤80， ∴当x＝20时，y值最小，y最小＝﹣60×20+12800＝11600，80﹣20＝60（台）． 答：该商场购进A型冰箱20台、B型冰箱60台才能使销售总利润最大，最大利润为11600元． 【点评】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 27．（12分）【操作】（1）将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1．若∠C﹣∠B＝28°，则∠BDE＝　28　°； 【思考】（2）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF＝3，AC＝6，S△ABC＝21，求边AB的长； 【延伸】（3）如图3，设Q为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PQ、PC． ①试说明：PQ+PC与EQ大小关系； ②若点Q是AC的中点，且∠BAC＝60°，AC＝6．求EQ长． 【答案】（1）28； （2）8； （3）①PG+PC≥EG，理由见解答； ②EQ＝3． 【分析】（1）根据折叠可得∠AED＝∠C，然后利用三角形的外角定义即可解决问题； （2）根据折叠的性质可得AD为∠BAC的角平分线，所以点D到AB和点D到AC的距离相等．然后根据三角形的面积即可解决问题； （3）①连接PE，根据折叠的性质可得PE＝PC，然后根据三角形三边的关系即可解决问题； ②连接EC，证明△AEC为等边三角形，根据点Q是AC的中点，得AQ＝CQ＝3，EQ⊥AC，得∠AEQ＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处， ∴∠AED＝∠C， ∵∠C﹣∠B＝28°， ∴∠AED﹣∠B＝28°， ∴∠BDE＝∠AED﹣∠B＝28°， 故答案为：28； （2）∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∴点D到AB和点D到AC的距离相等． ∴S△ABCAB•DF•AC•DF＝21， ∴•AB•36×3＝21， ∴AB＝8； （3）①结论：PG+PC≥EG，理由如下： 如图3，连接PE， ∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处， ∴AD为∠BAC的角平分线，AE＝AC， ∴PE＝PC， 在△PEG中，PE+PG≥EG， ∴PC+PG≥EG； ②连接EC，如图3， ∵AE＝AC，∠BAC＝60°， ∴△AEC为等边三角形， ∵点Q是AC的中点， ∴AQ＝CQAC6＝3，EQ⊥AC， ∴∠AQE＝90°， ∴∠AEQ＝30°， ∴EQAQ＝3． 【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角，折叠的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握折叠的性质． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B． （1）求直线AB的函数表达式； （2）将直线AB绕点A逆时针旋转45°，交y轴于点C，求直线AC的函数表达式； （3）点P是（2）中直线AC上一点，若∠POC＝∠ABO，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝2x+4； （2）yx； （3）点P（，）或（，）． 【分析】（1）将点A的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）证明△BGT≌△THA（AAS），得到T（﹣1，1），即可求解； （3）当点P在点A的下方时，若∠POC＝∠ABO，则OP∥AB，则OP的表达式为：y＝﹣2x，当点P在点A的上方时，根据图象的对称性，OP的表达式为：y＝﹣2x，即可求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣2k+4，则k＝2， 即BA的表达式为：y＝2x+4； （2）过点B作BT⊥AC于点T，过点T作GH和y轴平行，交x轴于点H，交过点B和x轴的平行线于点G， 则△BAT为等腰直角三角形，设点T（x，y）， 则∠GTB+∠ATH＝90°，∠ATH+∠TAH＝90°， ∴∠GBT＝∠NEA， ∵∠BGT＝∠THA＝90°，BH＝AH， ∴△BGT≌△THA（AAS）， ∴BG＝TH，GT＝AH， 即y＝﹣x且2﹣x＝4﹣y， 解得：x＝﹣y＝﹣1，即点T（﹣1，1）， 由点CT的坐标得，直线AC的表达式为：y（x﹣2）x； （3）当点P在点A的下方时， 若∠POC＝∠ABO，则OP∥AB， 则OP的表达式为：y＝﹣2x， 当点P在点A的上方时， 根据图象的对称性，OP的表达式为：y＝﹣2x， 联立OP和AC的表达式得：2xx 或﹣2xx， 解得：x或， 则点P（，）或（，）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质，分类求解是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$