广东省佛山市顺德区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市顺德区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列几何体的俯视图是三角形的是（　　） A．圆柱 B．三棱柱 C．正方体 D．圆锥 2．（3分）方程x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 3．（3分）已知△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长是6，则△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 4．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，找出图中相似的三角形（　　） A．△AOB与△DOC B．△ABC与△DCB C．△DAB与△ADC D．△AOD与△COB 5．（3分）为了估计鱼塘的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼的身上做好记号后放归鱼塘，再从鱼塘中随机打捞200条鱼．如果200条鱼中有10条鱼的身上是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（　　） A．1000 B．10000 C．20000 D．2000 6．（3分）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（3分）探索方程x2+12x﹣15＝0的正数解的过程如表： x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 可以看出方程的正数解应介于a和b之间，则a、b分别是（　　） A．0，0.5 B．0.5，1 C．1，1.5 D．1.5，2 8．（3分）如图，当点P1、P2、O在同一直线上时，在D1处与D2处测得的视力相同．若b1＝5米，A1A2＝5米，OA2＝3米，则b2是（　　）米． A． B．2 C．3 D． 9．（3分）反比例函数图象经过点A（﹣2，m），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴上运动时，△ABC的面积为（　　） A．3 B．6 C．12 D．不确定 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F、E分别是AD、CD上的动点，满足AF+CE＝AB．若AB＝6，则△BEF周长的最小值为（　　） A． B． C．12 D．18 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11．（3分）写出一个以为根的一元二次方程：　 　． 12．（3分）若D是直角三角形ABC斜边AB的中点，且AC＝3，BC＝4，则CD＝ 　 　． 13．（3分）原点O为△ABC与△A1B1C1的位似中心，位似比为．若点A的坐标为（4，6），则对应点A1的坐标可以为 　 　． 14．（3分）若x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根，则m2+3m+2024的值为 　 　． 15．（3分）某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计600N，此时人和木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数．以下说法正确的有 　 　（只填序号）．①p与S的关系式为；②p随S的增大而减小；③当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa；④如果要求压强不超过6000Pa，则木板面积至多为0.1m2． 三、解答题（8个题，共75分） 16．（6分）已知点A（1，4）、B（a，1）是反比例函数图象与一次函数y2＝mx+n图象的交点． （1）画出反比例函数图象； （2）写出满足y1＜y2的x的取值范围． 17．（6分）3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． （1）若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； （2）若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲、乙同时被选中的概率． 18．（8分）已知x2﹣2x+m＝0是关于x的一元二次方程． （1）当m＝﹣3时，求方程的解； （2）若x1、x2是方程的两个实数根，且x1•x2+2（x1+x2）＞0，求m的取值范围． 19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O． （1）给定三个关系：①AB2+BC2＝AC2；②AC⊥BD；③OA＝OB．其中能使得平行四边形ABCD为矩形的有 　 　，选择其中一个作为条件进行证明； （2）在（1）的条件下，点P从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；点Q同时从点A开始沿AD边运动，速度为2cm/s．如果AB＝4cm，AD＝8cm，点P到达点A时所有运动停止，那么何时△QAP与△ABD相似？ 20．（10分）某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其中2024年10月1日至10月4日的日销售量如图所示． （1）求2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率； （2）用你学过的知识预估2024年10月5日的日销售盈利情况． 22．（12分）网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． （1）如图1，点A、B、C、D都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段BC上找出点E，使得△BDE和△ABC相似，并说明画图的依据； （2）如图2，点P（m，2）为一次函数y＝kx+1与反比例函数图象的交点．将一次函数y＝kx+1的图象绕点P逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 23．（15分）点E是正方形ABCD所在平面内一点． （1）如图1，若E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，判断BE与DF之间的关系，说明理由； （2）如图2，若点E在边BC下方，当∠BED＝90°时，过点A作AE的垂线交ED的延长线于点P，猜想线段EA、EB、ED之间的数量关系，并证明； （3）在（1）的条件下，连接BD，延长BE交DF于点G．当DG＝2，GF＝3时，求△BDF的面积． 2024-2025学年广东省佛山市顺德区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D C C A B B 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列几何体的俯视图是三角形的是（　　） A．圆柱 B．三棱柱 C．正方体 D．圆锥 【分析】根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的俯视图的形状进行判断即可． 【解答】解：圆柱体的俯视图是圆形，三棱柱的俯视图是三角形，正方体的俯视图是正方形，圆锥的俯视图是圆形， 所以俯视图是三角形的几何体三棱柱， 故选：B． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 2．（3分）方程x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 【分析】利用配方法可得结论． 【解答】解：x2+8x﹣9＝0， x2+8x＝9， x2+8x+16＝9+16， （x+4）2＝25， 故选：B． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 3．（3分）已知△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长是6，则△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，， 所以周长的比为1：2， ∵△ABC的周长为6， ∴△DEF的周长为12． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 4．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，找出图中相似的三角形（　　） A．△AOB与△DOC B．△ABC与△DCB C．△DAB与△ADC D．△AOD与△COB 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、只有∠AOB＝∠DOC这一个条件，不能判定△AOB与△DOC相似，故A不符合题意； B、由条件不能判定△ABC与△DCB相似，故B不符合题意； C、由条件不能判定△DAB与△ADC相似，故C不符合题意； D、由AD∥BC，推出∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BCO，判定△AOD∽△COB，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 5．（3分）为了估计鱼塘的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼的身上做好记号后放归鱼塘，再从鱼塘中随机打捞200条鱼．如果200条鱼中有10条鱼的身上是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（　　） A．1000 B．10000 C．20000 D．2000 【分析】根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【解答】解：估计鱼塘中鱼的条数为100÷＝100×＝2000（条）． 故选：D． 【点评】本题考查了用样本估计总体的应用，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答． 6．（3分）如图，点E在矩形ABCD的边AD上．若△EBC是等边三角形，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵△EBC是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（3分）探索方程x2+12x﹣15＝0的正数解的过程如表： x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 可以看出方程的正数解应介于a和b之间，则a、b分别是（　　） A．0，0.5 B．0.5，1 C．1，1.5 D．1.5，2 【分析】判断出x2+12x﹣15＝0的值在1和1.5之间，由此可得结论． 【解答】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和1.5之间， ∴a＝1，b＝1.5． 故选：C． 【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（3分）如图，当点P1、P2、O在同一直线上时，在D1处与D2处测得的视力相同．若b1＝5米，A1A2＝5米，OA2＝3米，则b2是（　　）米． A． B．2 C．3 D． 【分析】先证明△OP2A2∽△OP1A1，然后根据相似三角形的性质计算b2的值． 【解答】解：∵P1A1∥P2A2， ∴△OP2A2∽△OP1A1， ∴＝， 即＝， 解得b2＝． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 9．（3分）反比例函数图象经过点A（﹣2，m），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴上运动时，△ABC的面积为（　　） A．3 B．6 C．12 D．不确定 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：∵反比例函数图象经过点A（﹣2，m）， ∴﹣2m＝﹣12， ∴m＝6， ∴S△ABC＝＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F、E分别是AD、CD上的动点，满足AF+CE＝AB．若AB＝6，则△BEF周长的最小值为（　　） A． B． C．12 D．18 【分析】先判定△BEF为等边三角形，再找出最小值，再根据勾股定理求解． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥BD， ∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣60°）＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠CDB＝∠DBA＝60°＝∠A， ∵AB＝BD， ∵AF+CE＝AB＝CD＝CE+DE， ∴AF＝DE， 在△AFB和△DEB中， ， ∴△AFB≌△DEB（SAS）， ∴FB＝EB，∠ABF＝∠DBE， ∴∠4EBF＝∠DBF+∠DBE＝∠DBF+∠ABF＝∠ABD＝60°， ∴△EFB是等边三角形； △AEF的周长为3BF， ∵当BF⊥AD时BF最短， 此时：∠A＝60°，∠AFB＝90°， ∴∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝3， ∴BF＝＝3． ∴△BEF周长的最小值为：3×＝9， 故选：B． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，掌握转化思想是解题关键 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11．（3分）写出一个以为根的一元二次方程：　x2﹣x＝0（答案不唯一）　． 【分析】根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可求解． 【解答】解：形如（x﹣）（ax+b）＝0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是2， ∴当a＝1，b＝0时，可以写出一个一元二次方程：x（x﹣）＝0，即x2﹣x＝0， 故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是关键． 12．（3分）若D是直角三角形ABC斜边AB的中点，且AC＝3，BC＝4，则CD＝ 　2.5　． 【分析】由勾股定理得求出AB＝＝5，由直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AB＝2.5． 【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵D是直角三角形ABC斜边AB的中点， ∴CD＝AB＝2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AB． 13．（3分）原点O为△ABC与△A1B1C1的位似中心，位似比为．若点A的坐标为（4，6），则对应点A1的坐标可以为 　（8，12）或（﹣8，﹣12）　． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的位似比为，原点O为它们的位似中心，点A的坐标为（4，6）， ∴对应点A1的坐标为（4×2，6×2）或（4×（﹣2），6×（﹣2）），即（8，12）或（﹣8，﹣12）， 故答案为：（8，12）或（﹣8，﹣12）． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 14．（3分）若x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根，则m2+3m+2024的值为 　2025　． 【分析】由题意得出m2+3m＝1，整体代入计算即可得解． 【解答】解：∵x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根， ∴m2+3m﹣1＝0， ∴m2+3m＝1， ∴m2+3m+2024＝1+2024＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．（3分）某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计600N，此时人和木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数．以下说法正确的有 　①②③④　（只填序号）．①p与S的关系式为；②p随S的增大而减小；③当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa；④如果要求压强不超过6000Pa，则木板面积至多为0.1m2． 【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式，根据解析式即可判定． 【解答】解：压力一定时，压强和受力面积成反比； ∵F＝600N， ∴p＝（S＞0）， ∴p是S的反比例函数， ∵S＞0， ∴当S越来越大时，p也越来越小， 故①、②正确，符合题意； 当S＝0.2时，p＝＝3000， ∴当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa， 故③正确，符合题意； 当p≤6000时， 即≤6000， ∴S≥0.1， ∴若压强不超过6000Pa时，木板面积最少0.1m2， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键． 三、解答题（8个题，共75分） 16．（6分）已知点A（1，4）、B（a，1）是反比例函数图象与一次函数y2＝mx+n图象的交点． （1）画出反比例函数图象； （2）写出满足y1＜y2的x的取值范围． 【分析】（1）先求出反比例函数解析式，再画出函数图象即可； （2）关键图象直接写出不等式解集即可． 【解答】解：（1）∵点A（1，4）、B（a，1）是反比例函数图象上， ∴a＝4，k＝4， ∴反比例函数解析式为y＝，图象如图： （2）由图象可知，满足y1＜y2的x的取值范围为：1＜x＜4或x＜0． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 17．（6分）3月14日是国际数学日．学校在当天举行了数独、魔方、24点游戏、数字华容道和数字猜谜等丰富多彩的活动，并采用积分制激励学生积极参与活动．甲、乙、丙、丁四人积分位居前列． （1）若从以上四人中随机选取一人介绍活动经验，求甲被选中的概率； （2）若从以上四人中随机选取两人介绍活动经验，求甲、乙同时被选中的概率． 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是； （2）树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种，所以甲、乙两人恰好同时选中的概率P＝＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 18．（8分）已知x2﹣2x+m＝0是关于x的一元二次方程． （1）当m＝﹣3时，求方程的解； （2）若x1、x2是方程的两个实数根，且x1•x2+2（x1+x2）＞0，求m的取值范围． 【分析】（1）将m＝﹣3代入方程，并对所得方程进行求解即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）将m＝﹣3代入方程得， x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3． （2）因为x1、x2是方程的两个实数根， 所以x1+x2＝2，x1x2＝m． 又因为x1•x2+2（x1+x2）＞0， 所以m+2×2＞0， 解得m＞﹣4． 又因为Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 所以m的取值范围是：﹣4＜m≤1． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程﹣公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O． （1）给定三个关系：①AB2+BC2＝AC2；②AC⊥BD；③OA＝OB．其中能使得平行四边形ABCD为矩形的有 　①③　，选择其中一个作为条件进行证明； （2）在（1）的条件下，点P从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；点Q同时从点A开始沿AD边运动，速度为2cm/s．如果AB＝4cm，AD＝8cm，点P到达点A时所有运动停止，那么何时△QAP与△ABD相似？ 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形判定即可； （2）当＝或＝时，两三角形相似，分两种情形构建方程求解． 【解答】解：（1）①③． 若添加①：∵AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； 若添加③：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：①③； （2）设运动时间为t s． 由题意AP＝（4﹣t）cm，AQ＝2t cm， 当＝或＝时，两三角形相似， ∴＝或＝， 解得t＝2或t＝， ∴当运动2秒或秒时，△QAP与△ABD相似． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（10分）某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其中2024年10月1日至10月4日的日销售量如图所示． （1）求2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率； （2）用你学过的知识预估2024年10月5日的日销售盈利情况． 【分析】（1）设2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为x，根据每件盈利20元，结合2024年10月1日至10月4日的日销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为x， 由题意得：16×20（1+x）2＝25×20， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为25%； （2）由题意可知，25×20×（1+25%）＝500×1.25＝625（元）， 答：预估2024年10月5日的日销售盈利625元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（12分）网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． （1）如图1，点A、B、C、D都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段BC上找出点E，使得△BDE和△ABC相似，并说明画图的依据； （2）如图2，点P（m，2）为一次函数y＝kx+1与反比例函数图象的交点．将一次函数y＝kx+1的图象绕点P逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 【分析】（1）根据矩形的性质和三角形的中位线的性质作图； （2）根据全等三角形的判定和性质及待定系数法求解． 【解答】解：（1）根据矩形的对角线互相平分找到BC的中点E即可； 依据：三角形的中位线平行于第三边，及平行线的性质； （2）由题意得：2m＝6， 解得：m＝3， ∴P（3，2）， 设y＝kx+1交y轴于点A，则A（0，1）， 过P作PC⊥y轴于点C，过A作AB⊥AP，且AB＝AP，过B作BD⊥与轴于点D， 则∠ACP＝∠PAB＝∠ADB＝90°，CP＝3，OC＝2，∠APB＝45°， ∴∠CPA+∠CAP＝∠CAP+∠ABD＝90°，AC＝CO﹣OA＝1， ∴∠CPA＝∠DAB， 又∵AP＝AB， ∴△ACP≌△BDA（AAS）， ∴BD＝AC＝1，AD＝CP＝3， ∴B（1，﹣2）， 设BP：y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴BP：y＝2x﹣4， 即新图象的表达式y＝2x﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，掌握全等三角形的判定和性质及待定系数法是解题的关键． 23．（15分）点E是正方形ABCD所在平面内一点． （1）如图1，若E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，判断BE与DF之间的关系，说明理由； （2）如图2，若点E在边BC下方，当∠BED＝90°时，过点A作AE的垂线交ED的延长线于点P，猜想线段EA、EB、ED之间的数量关系，并证明； （3）在（1）的条件下，连接BD，延长BE交DF于点G．当DG＝2，GF＝3时，求△BDF的面积． 【分析】（1）根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCD＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF，延长BE交DF于点H，进而求出∠DEH+∠EDH＝90°从而证明BE⊥DF即可； （2）设AC，PE交于G，设∠CBE＝∠CDG＝α，求得∠ADG＝90°﹣∠CDG＝90°﹣α，得到∠ADP＝180°﹣∠ADG＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，求得∠ABE＝∠ADP，根据全等三角形的性质得到PD＝BE，AE＝AP，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝PD+DE＝BE+DE＝AE； （3）如图，由（1）知BE＝DF＝2+3＝5，BG⊥DF，根据相似三角形的性质得到EG＝1（负值舍去）求得BG＝BE+EG＝6，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）BE⊥DF，BE＝DF， 理由：延长BE交DF于点H，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCD＝∠DCF＝90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF， ∵∠CBE+∠CEB＝90°， ∴∠DEH+∠EDH＝90°， ∴BE⊥DF，BE＝DF； （2）DE+BE＝AE， 理由：设AC，PE交于G， ∵∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，∠BGE＝CGD， ∴∠CBE＝∠CDG， 设∠CBE＝∠CDG＝α， ∠ADG＝90°﹣∠CDG＝90°﹣α， ∴∠ADP＝180°﹣∠ADG＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α， ∵∠ABE＝90°+α， ∴∠ABE＝∠ADP， ∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∴∠BAE＝∠PAD， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADP（ASA）， ∴PD＝BE，AE＝AP， ∴PE＝PD+DE＝BE+DE＝AE， 即：BE+DE＝AE； （3）如图，由（1）知BE＝DF＝2+3＝5，BG⊥DF， ∴∠BGF＝∠DGE＝90°， ∵∠DEG＝∠BEC， ∴△DGE∽△BCE， ∴， ∴＝， ∴EG＝1（负值舍去）， ∴BG＝BE+EG＝6， ∴△BDF的面积＝＝＝15． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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