精品解析：辽宁省盘锦市双台子区2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2024—2025学年第一学期双台子区 九年级期中联考数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 4. 对于抛物线，下列判断正确的是(　　) A. 与y轴交点坐标是 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 5. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，、是的弦，是的切线，C为切点，与交于点E．若点C为的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 12. 在绝对值小于4的非零整数中，随机取出一个数，其倒数等于本身的概率为______． 13. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 14. 在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为______米． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为________． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_____． 17. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 18. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若，，则的长为_______． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转得到．并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求出点经过的路径长． 20. （1）有两张图片（分别命名为图片、图片）形状完全相同，景色不同．把两张图片全部从中间剪断（分别命名为上、下、上、下），再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ （2）有三张图片（分别命名为图片、图片、图片）形状完全相同，景色不同．把这三张图片都按同样的方式剪成相同的三段（分别命名为上、中、下、上、中、下、上、中、下），然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整图片的概率． 21. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 23. 《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 24. 问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． （1）【发现】、、之间的数量关系为_______． （2）【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． （3）【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期双台子区 九年级期中联考数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意； B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意知，， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 对于抛物线，下列判断正确的是(　　) A. 与y轴交点坐标是 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∴B错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 当时，，即与y轴交点坐标是，A错误，故不符合要求； 当时，，D错误，故不符合要求； 故选：C． 5. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：抛物线在直线上方时，的范围是：或， 即的解集是或， 故选：C． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识， 利用旋转变换、平移变换的性质作出图形，可得结论．解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，． 故选：A． 8. 如图，是的直径，、是的弦，是的切线，C为切点，与交于点E．若点C为的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，掌握圆的相关知识是解题关键．由切线的性质得出，再结合圆周角定理，得到，然后根据直径所对的圆周角是直角，即可求出的度数． 【详解】解：是的切线，C为切点， ， ， ， 点C为的中点， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C 9. 如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，可得平分，，由平行的性质和等角对等边可得，同理，可得到图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点I为的内心， ∴平分， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，对称轴可知，，由此即可判断①②；再根据，，得到，即可推出，即可判断③；根据对称性求出，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵点A到直线的距离大于1， ∴点B到直线的距离大于1， 即点B在的右侧， ∴当时，， 即， ∴，所以②错误； ∵，， ∴， ∴，即，所以③错误； ∵点A与点B关于直线对称， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在绝对值小于4的非零整数中，随机取出一个数，其倒数等于本身的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、倒数、简单概率计算等知识，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．根据题意可知绝对值小于4的非零整数有6个，其中倒数等于本身的共计2个，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：绝对值小于4的非零整数有，共计6个， 其中倒数等于本身的为，共计2个， 所以，随机取出一个数，其倒数等于本身的概率为． 故答案为：． 13. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可． 【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得： ． 故答案为：． 14. 在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴的交点，令，求出x的值，再判断答案． 【详解】解：当时，， 整理，得， 解得，（舍）， 所以小康这次实心球训练的成绩是12米． 故答案为：12． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据旋转的性质，得到，，分割法推出阴影部分的面积为扇形的面积，即可求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得或，都不符合题意； 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得（舍去） 当时，则函数在或处取得最小值， 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：1或． 17. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 18. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 根据垂直平分，求出，设，则，，根据勾股定理得，进而求得． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ，， ， 为的中点， 垂直平分， 设，则， ， ， 在中， ， 即， 解得，， 的长为， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转得到．并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求出点经过的路径长． 【答案】（1）如图，为所求， （2）如图，为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，弧长公式，掌握作图方法是解题的关键． （1）找出点A，B，C关于原点O对称的点，，，依次连接即可得到，根据作图可得点的坐标； （2）找出点A，B，C绕点顺时针旋转的对应点，，，依次连接即可得到，根据作图可得点的坐标； （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 20. （1）有两张图片（分别命名为图片、图片）形状完全相同，景色不同．把两张图片全部从中间剪断（分别命名为上、下、上、下），再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？ （2）有三张图片（分别命名为图片、图片、图片）形状完全相同，景色不同．把这三张图片都按同样的方式剪成相同的三段（分别命名为上、中、下、上、中、下、上、中、下），然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整图片的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法的相关知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先画出树状图，则共有种等可能的结果，这两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有种，列式计算，即可作答． （2）先画出树状图，则共有27种等可能的结果，这三张图片恰好组成一张完整图片的结果有种，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，这两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有种， ∴这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是； （2）依题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，这张图片恰好组成一张完整图片的结果有种， ∴这三张小图片恰好合成一张完整图片的概率是； 21. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）70元 （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． (1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 22. 如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 23. 《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 【答案】任务一：（1）该圆弧所在圆的半径为米； （2）； 任务二：（3）能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由： 设计成抛物线型， 以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，如图所示， ， 设抛物线的解析式为， 将抛物线经过点和点代入解析式， 可得 解得 抛物线的解析式为； 任务二：在圆弧形状的拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示， ， 连接，则， ， 在中， ， ， 货船能顺利通过圆弧型拱桥； 在抛物线型拱桥中， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 答：能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：方案一，设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可； 方案二，设抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线式； 任务二：在圆弧型拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，然后由勾股定理求出，即可判断；在抛物线型拱桥中，把代入式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：设计成圆弧型， 设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米， 方案一，， ， 在中， ， 即， 解得， 该圆弧所在圆的半径为米； 方案二，略 24. 问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． （1）【发现】、、之间的数量关系为_______． （2）【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． （3）【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】（1）； （2）； （3）米． 【解析】 【分析】【发现】根据正方形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证； 【类比引申】延长到，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得； 过点作垂足为点，连接，可知是等边三角形，根据已知角的度数可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以得到的长度，利用勾股定理可求的长度，从而可证是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，由【类比引申】可知． 【小问1详解】 【发现】解：如下图所示， 延长到点，使， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 【类比引申】解：当时，中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 又， 在和中， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 【探究应用】解：如下图所示，过点作垂足为点，连接， 与垂直， ， ， ， ， 是等边三角形， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， ， ， ， ， ， 由【类比引申】可知(米)． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $