精品解析：河南省漯河市召陵区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度八年级上期期中学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 4. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列木棒中选取（ ） A. 的木棒 B. 的木棒 C. 的木棒 D. 的木棒 5. 如图，在等腰三角形中，是底边上的中线，是高线．图中与一定相等的角有（不含本身）（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则∠ADE的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 9. 如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 10. 如图，在锐角三角形ABC中，，BE，CD为的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分，有下列四个结论：①；②；③≌；④．其中结论正确的序号有（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 12. 如图所示，交通指示牌中“停车让行标志”外轮廓可以看成是正八边形，则的度数等于______°． 13. 已知点关于y轴的对称点为，则的值为_____． 14. 如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ． 15. 如图，在中，，点D在上且． （1）_____； （2）若，，于点 E． 则_______________ ．（用含m，n的式子表示） 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16. 如图，E、F在线段AC上，∠A＝∠C，AE＝CF，若∠B＝∠D． 求证：DF＝BE． 17. 如图，在 中，已知 是角平分线， ． （1）求 的度数； （2）若 于点 ，求 的度数． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于x轴对称的； （3）在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，并写出点P坐标． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹） （2）求证：． 20. 某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，． （1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离； （2）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 21. 如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． （1）当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 22. 阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 23. （1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度八年级上期期中学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 第九届亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会．目前已有34个国家和地区奥委会报名参加第九届亚冬会，有望创历届之最．其中单板滑雪大跳台是比赛项目之一，下面的比赛项目图标组成的四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键； 首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案. 【详解】根据三角形高的定义可知，选项D中是的高. 故选：D 3. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a-b=0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 4. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列木棒中选取（ ） A. 的木棒 B. 的木棒 C. 的木棒 D. 的木棒 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得出第三边的取值范围即可做出选择． 【详解】解：设第三边的长为，则， 即， ∴选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键． 5. 如图，在等腰三角形中，是底边上的中线，是高线．图中与一定相等的角有（不含本身）（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由三线合一得，再由直角三角形两个锐角互余得 【详解】为等腰三角形 平分 故有2个角和它相等 故选B 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，直角三角形两锐角互余，掌握这些是本题关键． 6. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 7. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，结合已知条件即可求解．本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别为边中点， ， ， ∵F是的中点， ∴， ， 的面积等于 ∴ 故选：A． 8. 如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则∠ADE的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， 由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC， ∵DEAB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9. 如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案． 【详解】解：连接BE， ∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点， ∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°， ∵EF⊥AB， ∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°， ∴BE=DE， 在Rt△BEF中，EF=1， ∴BE=2EF=2， ∴BE=DE=2， ∴DF=EF+DE=3， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题． 10. 如图，在锐角三角形ABC中，，BE，CD为的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分，有下列四个结论：①；②；③≌；④．其中结论正确的序号有（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得BD=BG，同理可得CE=CG，可对④进行判断． 【详解】解：∵∠A=60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线， ∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB= ×（180°-∠A）=60°， ∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，故①符合题意； 由①得，∠DFB=60°，∠BFC=120°， ∵FG平分∠BFC， ∴∠BFG=∠BFC=60°， 在△BDF和△BGF中， ， ∴△BDF≌△BGF（ASA）， ∴BD=BG，故②符合题意； 在△BDF和△CEF中， ∠BFD=∠CFE=60°，没有其它相等的边与角， ∴△BDF和△CEF不一定全等，故③不符合题意； 由②可得BD=BG， 同理可得△CEF≌△CGF， ∴CE=CG， ∴BC=BG+CG=BD+CE，故④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图所示，交通指示牌中“停车让行标志”外轮廓可以看成是正八边形，则的度数等于______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．根据多边形的外角和是求解即可． 【详解】解：， 故答案为：45． 13. 已知点关于y轴的对称点为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的特征确定出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 14. 如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ． 【答案】5cm 【解析】 【分析】作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，则OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形性质求出PN即可． 【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小， ∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M， ∴OA、OB关于OC对称， ∴P点在OB上， ∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°， ∵PN=OP=×10=5cm， ∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm， 故答案为5cm． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称以及最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定Q、N的位置． 15. 如图，在中，，点D在上且． （1）_____； （2）若，，于点 E． 则_______________ ．（用含m，n的式子表示） 【答案】 ①. 36 ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，先证明，设，则，得出，求出x的值即可； （2）如图所示，过点D作于F，根据等腰三角形的性质得到，，再证明，进而证明，得到，求出，，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 即； 故答案为：36； （2）如图所示，过点D作于F， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16. 如图，E、F在线段AC上，∠A＝∠C，AE＝CF，若∠B＝∠D． 求证：DF＝BE． 【答案】 证明：∵AE＝CF， ∴AE﹣EF＝CF﹣EF， ∴AF＝CE， 在△ADF与△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴DF＝BE． 【解析】 【分析】由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得DF=BE． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 17. 如图，在 中，已知 是角平分线， ． （1）求 的度数； （2）若 于点 ，求 的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知 的度数，可求出三角形 中 的度数， 又是 的角平分线，可以求得 的值，从而在三角形 中即可求 的度数． （2）由（1）可求得 若 ，则在直角三角形中可以求得的度数． 【小问1详解】 解：（1）在 中， ， ， ， ． 是 的角平分线， 在 中， ， ， ． 【小问2详解】 ， 又 ， 在 中， ， ． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和，角平分线，及角的互余关系，关键是利用有关角的关系定理进行计算． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于x轴对称的； （3）在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，并写出点P坐标． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图， 的即为所求， ，，； 【小问2详解】 解：如图， 即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求， ． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹） （2）求证：． 【答案】（1） 线段的垂直平分线如图所示； （2） ∵，， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）首先根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求出，然后根据垂直平分线的性质得到，进而求出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 20. 某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，． （1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离； （2）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】（1）旋转木马E处到出口B处的距离为35m （2） 解：入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下： 由题意知， ∴ ， ∵ ， ∴在和中， ， ∴， ∴， 即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，从而可得答案； （2）由，再结合已知条件证明，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转木马E处到出口B处的距离为35m； 【小问2详解】 略 21. 如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． （1）当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】（1） 是等边三角形，理由如下； 由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形； （2）当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形 【解析】 【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形； （2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可， 本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵运动时间为， ∴， ∴， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形． 22. 阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【答案】（1）将测量方案示意图补充完整如图所示． （2）①8； ②理由：如图， 由题意可知， AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝8米， ∴小明的方案是正确的． 【解析】 【分析】（1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即△ABC≌△DEC，将图形补充完整即可； （2）任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝8米，得出答案为8； ②由题意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝8米，说明小明的方案是正确的． 【小问1详解】 解：任务一：略 【小问2详解】 任务二：①由△ABC≌△DEC，得AB＝DE＝8（米）， 故答案为：8． ②略 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 23. （1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $