精品解析：河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式中的、的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来3倍 C. 是原来的 D. 是原来的一半 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，下列分式没有意义的是（　　） A. B. C. D. 4. 在等式□中，“□”所表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 5. 三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为．则可通过得到平分．可判定的方法是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 将数字0.000005写成科学记数法得到（ ） A B. C. D. 9. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 10. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 11. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 12. 已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ） A. a＞b＞c＞d B. c＞d＞a＞b C. b＞c＞a＞d D. d＞c＞b＞a 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案写在题中横线上） 13. 计算：_______． 14. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 15. 方程无解，那么的值为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B坐标为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 20. 已知a，b，c是的三边长，其中a，b满足，c满足，试判断的形状． 21. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 22. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务． （1）问原计划每天绿化道路多少米？ （2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？ 23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到． （1）如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式中的、的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的一半 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案． 【详解】解：分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值是原来的， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3. 当时，下列分式没有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分母等于0时，分式无意义，因而把代入各式的分母检验一下就可以得解． 【分析】A、当时，分式有意义，故此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故此选项符合题意； C、当时，分母，分式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，分母，分式有意义，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式没有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 4. 在等式□中，“□”所表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： “□”所表示的代数式为； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键． 5. 三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为．则可通过得到平分．可判定的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了运用判定直角三角形全等，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 根据直角三角形全等的判定定理可证，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ​故选D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 7. 如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】依据折叠即可得到AB＝AC，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：由题可得，AB与AC可重合，即AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 8. 将数字0.000005写成科学记数法得到（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：D． 9. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和． 设多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，外角和为，根据“内角和为外角和的3倍”，解方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 解得： ∴这个多边形为八边形． 故选：A． 10. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程得到，再由方程的解为非负数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不为0是解题关键． 11. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 12. 已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ） A. a＞b＞c＞d B. c＞d＞a＞b C. b＞c＞a＞d D. d＞c＞b＞a 【答案】C 【解析】 【分析】把这几个数运用幂的乘方的逆运算化成同指数的幂进行比较即可得出结果． 【详解】解：∵，， ，， 又∵， ∴， ∴b＞c＞a＞d； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运用来比较大小，即（m、n为正整数），熟练掌握这一运算法则是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案写在题中横线上） 13. 计算：_______． 【答案】1． 【解析】 【分析】由解题即可． 【详解】 故答案为：1． 【点睛】本题考查零指数幂，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 14. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案∶． 15. 方程无解，那么的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 方程无解， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ∵x满足， ∴， ∴原式． 19. 如图，在中，． （1）作平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再次利用三角形内角和定理求解即可；②根据角平分线的性质，得到的高，从而计算面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴点D到的距离为， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法和性质，三角形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，得到三角形的高． 20. 已知a，b，c是的三边长，其中a，b满足，c满足，试判断的形状． 【答案】是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及三角形的分类，熟练掌握因式分解及三角形的分类是解题的关键；由题意易得，然后非负数性质和绝对值求出，，有三角形三边关系确定，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴或， 当时，，不能构成三角形， 当时，，，是等腰三角形． 综上所述：是等腰三角形． 21. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长最小值． 22. 某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务． （1）问原计划每天绿化道路多少米？ （2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？ 【答案】（1）100米 （2）（元） 【解析】 【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天绿化道路x米， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化道路100米． 【小问2详解】 解：（天），（天）， （元）． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到． （1）如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用． （1）图2可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案； （2）根据图2进行设计图形并对式子进行分解； （3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于x，y的方程组，进而整体代入计算即可． 【小问1详解】 发现的等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 如图， ． 【小问3详解】 由（1）得． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】（1）①； ；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$