精品解析：江苏南京市秦淮区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025-2026秦淮区七下期末数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须使用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式为，要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项，，两项都相同，不符合结构要求，不能用平方差公式计算； B选项，，没有符合要求的相同项与相反项，不符合结构要求，不能用平方差公式计算； C选项，，相同项为，相反项为和，符合结构要求，能用平方差公式计算； D选项，，两项都相同，不符合结构要求，不能用平方差公式计算． 3. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别计算出，，的值，再比较大小即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ∵ ， ∴ ． 4. 用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到答案． 【详解】解：反证法需假设原命题结论的否定成立，原命题的结论为，它的否定为， 应先假设． 5. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，进行计算即可解答，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 7. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的确定法则，结合已知解集列出关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 8. 用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称变换，平移变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，根据题意，得： 向右平移a个单位长度，得到白色三角形；向右平移个单位长度，得到白色三角形；沿着平移a个单位长度，得到白色三角形；平移个单位长度，得到白色三角形；沿着平移的长度，得到白色三角形； 故由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为； 如图，是阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形，虚线是对称轴， 故由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为； 阴影绕点D顺时针旋转得到，绕点H逆时针旋转得到，逆时针旋转得到，阴影绕点G逆时针旋转得到，阴影绕点G顺时针旋转得到，阴影绕点P逆时针旋转得到，阴影绕点Q顺时针旋转得到，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为； 故． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 9. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据可用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 用不等式表示“a为正数”：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据大于0的数是正数直接列即可得到答案． 【详解】解：∵a为正数， ∴， 故答案为：． 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 12. 每个角都是的多边形是________边形． 【答案】 六##6 【解析】 【分析】设多边形边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为 根据多边形内角和定理，得 整理得 解得 ∴这个多边形是六边形． 13. 若关于，的方程组的解是，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把代入原方程组中得到关于m，n的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵若关于，的方程组的解是， ∴， ∴． 14. 图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 【答案】 【解析】 【分析】根据梯形的面积公式列出代数式，利用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，梯形的上底为，下底为，高为， 根据梯形的面积公式，得 ∴图中梯形的面积为． 15. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是40，则图中阴影图形的周长是________． 【答案】 220 【解析】 【分析】利用平移的性质将阴影部分的周长转化为正方形的周长，加上正方形的两条边长，再减去倍中间空隙的宽度，即可得出结果． 【详解】解：阴影图形的周长  ． 16. 甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【详解】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 17. 如图，在中，若，则________°． 【答案】##55度 【解析】 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 18. 按照如下操作程序，如果恰好只需要运行一次“否”后就能输出结果，那么输入的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序列出不等式组即可求解． 【详解】解：第一次计算得，其值不超过64， 第二次计算得，其值大于64， 由题意得：， 解第一个不等式，得，解第二个不等式，得， ∴不等式组的解集为． 即输入的的取值范围是． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【解析】 【详解】解：      ， 当，时 ， 原式． 20. 解方程组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由得，，解得， 将代入得，，解得， 原方程组的解为． 21. 解不等式组． 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ． 依据是： ． （2）解不等式③，得 ． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 【答案】（1）；不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2） （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来如图： （4） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解法，求出不等式①的解集； （2）根据不等式的解法，求出不等式③的解集； （3）根据各个不等式解集，将解集在数轴上的表示； （4）根据（3）中的数轴表示，从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，确定不等式组的解集． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称． （1）在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【答案】（1）如图：对称轴即为所求； （2）90 【解析】 【分析】（1）对称轴是入射光线与反射光线夹角的角平分线，尺规作图方法：以入射光线和反射光线的公共交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两条光线于两点；分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接顶点和交点得到直线，即为所求对称轴，保留作图痕迹即可． （2）根据反射性质和平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据反射性质，可得：，， ∵， ∴， ∴， 化简得， 在中：． 23. 已知：，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，证明即可． 【详解】略 24. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.6万元；新建3个地上充电桩与新建2个地下充电桩费用相同． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？（用二元一次方程组解决问题） （2）若该小区计划用不超过21.1万元的资金新建40个充电桩，则最多能够新建多少个地下充电桩？（用一元一次不等式解决问题） 【答案】（1） 新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元. （2） 最多能够新建个地下充电桩. 【解析】 【分析】（1）设两个未知数分别表示新建1个地上、地下充电桩的费用，根据题干给出的两个费用关系列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）设未知数表示新建地下充电桩的个数，根据总资金不超过限额列一元一次不等式，结合充电桩个数为正整数，即可求出最大个数． 【小问1详解】 解：设新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元 根据题意得  解得  答：新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元； 【小问2详解】 解：设新建个地下充电桩，则新建个地上充电桩 根据题意得： 展开整理得： 解得 因为是非负整数， 所以的最大值为  答：最多能够新建25个地下充电桩． 25. 课本上是这样证明“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”的． 已知：a，b，c是同一平面内三条不同的直线，，． 求证：． 证明：假设a，c不平行，那么它们相交于一点P，如图． ，， ∴过点P的两条直线a，c都与直线b ① ． 这与基本事实“② ”矛盾． ∴假设不成立，． （1）填写空格； （2）用不同于课本的方法证明．（要求：①按照课本证明中的“已知”“求证”重新画图；②完整证明，并写出证明过程中的每一步的依据．） 【答案】（1）①平行②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）已知：直线，，求证：． 证明：如图所示，作直线与直线相交，交点分别为点, ， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 当直线在直线的上方，同理可证； 当直线在直线的下方，同理可证； 【解析】 【分析】（1）利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”证明即可； （2）利用平行线的性质证得，再利用同位角相等，两直线平行证得结果． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 26. 定义 我们把两条直线相交所夹的锐角或直角叫作这两条直线相交所成的角． （1）如图（1），把绕点按顺时针方向旋转后得到，对应线段和所在直线相交所成的角等于 ． （2）画出绕点按顺时针方向旋转后的，求对应线段和所在直线相交所成的角． （3）若绕点按顺时针方向旋转得到，直接写出对应线段和所在直线相交所成的角的所有可能结果．（用含的代数式表示，结果需化简） 【答案】（1） （2）；对应线段和所在直线相交所成的角为； （3）对应线段和所在直线相交所成的角为：或或． 【解析】 【分析】 （1）延长交于点，交于点，由旋转和平角的性质，求出；根据四边形的内角和，等量代换，求出，再根据平角的定义，即可； （2）按题作图，延长交于点，由旋转可得，，，旋转和平角的性质，求出 ，根据四边形的内角和，等量代换，即可； （3）分类讨论：当时，延长交于点，交于点；当时，延长，交于点 ；当时，延长，交于点；当时，延长，交于点；利用四边形的内角和，旋转的性质，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：延长交于点，交于点， 由旋转可得，，， ∴ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴线段和所在直线相交所成的角等于． 【小问2详解】 解：延长交于点， 由旋转可得，，， ∴ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当时，延长交于点，交于点， 由旋转可得，，， ∴ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，延长，交于点， 由旋转可得，，， ∴ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴． 当时，延长，交于点， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴； 当时，延长，交于点， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴； 综上所述，对应线段和所在直线相交所成的角为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026秦淮区七下期末数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须使用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 9. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 10. 用不等式表示“a为正数”：______． 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 12. 每个角都是的多边形是________边形． 13. 若关于，的方程组的解是，则________，________． 14. 图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 15. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是40，则图中阴影图形的周长是________． 16. 甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 17. 如图，在中，若，则________°． 18. 按照如下操作程序，如果恰好只需要运行一次“否”后就能输出结果，那么输入的的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 解方程组． 21. 解不等式组． 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ． 依据是： ． （2）解不等式③，得 ． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 22. 已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称． （1）在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） （2）如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 23. 已知：，，求证：． 24. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.6万元；新建3个地上充电桩与新建2个地下充电桩费用相同． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？（用二元一次方程组解决问题） （2）若该小区计划用不超过21.1万元的资金新建40个充电桩，则最多能够新建多少个地下充电桩？（用一元一次不等式解决问题） 25. 课本上是这样证明“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”的． 已知：a，b，c是同一平面内三条不同的直线，，． 求证：． 证明：假设a，c不平行，那么它们相交于一点P，如图． ，， ∴过点P的两条直线a，c都与直线b ① ． 这与基本事实“② ”矛盾． ∴假设不成立，． （1）填写空格； （2）用不同于课本的方法证明．（要求：①按照课本证明中的“已知”“求证”重新画图；②完整证明，并写出证明过程中的每一步的依据．） 26. 定义 我们把两条直线相交所夹的锐角或直角叫作这两条直线相交所成的角． （1）如图（1），把绕点按顺时针方向旋转后得到，对应线段和所在直线相交所成的角等于 ． （2）画出绕点按顺时针方向旋转后的，求对应线段和所在直线相交所成的角． （3）若绕点按顺时针方向旋转得到，直接写出对应线段和所在直线相交所成的角的所有可能结果．（用含的代数式表示，结果需化简） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $