精品解析：湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

宜章一中2023级高二下期第一次阶段性测试数学试卷 命题人：潘志辉 审题人：赵娟 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知直线l：的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的直线方程求出斜率，进而求出的值. 【详解】由直线l：的倾斜角为，得斜率， 所以. 故选：D 2. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：A 3. 已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的坐标，再利用数形结合，求圆上点到直线距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 如图，，直线的方程为，则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：C 4. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令可得，再令可得数列是首项和公比为的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可. 【详解】令，， 令，则，所以， 所以数列是首项和公比为的等比数列， 所以 . 故选：A. 5. 一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当t=1秒时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 16米/秒 B. 40米/秒 C. 9米/秒 D. 36米/秒 【答案】B 【解析】 【分析】对关于位移与时间的关系式求导，然后将代入可求出该质点的瞬时速度 【详解】， 当时，， 故该质点的瞬时速度为40米/秒. 故选：B 6. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案. 【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，； 因为为等腰三角形，且在第一象限，所以， 由椭圆的定义可得. 设直线的倾斜角为，则，，； 所以. 故选：B. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】含导函数图象确定极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负. 【详解】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点. 故选：C 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，则，设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，分析可知为等腰直角三角形，求出，利用双曲线的定义求出，然后利用在中应用余弦定理可求得双曲线的离心率的值. 【详解】如图，设双曲线的方程为，则． 设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，则． 所以，有，所以． 又，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 根据双曲线的定义可得，，所以． 在中，由余弦定理可得，． 所以，， 所以，，，所以，双曲线的离心率． 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 故选：AB 10. 下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ） A. 曲线 B. 曲线 C. 曲线 D. 曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数几何意义进行逐一判断即可. 【详解】若，则，当时，，故选项A不符合题意； 若，则，当时，，故选项B符合题意； 若，则，当时，，故选项C符合题意； 若，则，当时，，故选项D不符合题意， 故选：BC 11. 如图，棱长为2正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点G﹐使得平面 C. G为中点时，直线EG与所成角最小 D. 点F到直线EG距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等体积法可知，即可判断A项；建系，假设存在点G﹐设.根据向量的坐标，由，解出的值，即可判断B项；由已知推出，根据二次函数以及余弦函数的性质，结合的取值范围，即可判断C项；求出在方向上投影的绝对值为，然后根据勾股定理表示出点F到直线EG的距离，根据二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，. 对于A项，由正方体以及面面平行的性质可得，平面， 点G在线段上，所以到平面的距离等于. 因为，所以. 则是个定值，故A项正确； 对于B项，假设存在点G﹐使得平面. 设. ，，，， 则. 所以，，所以，满足条件. 此时有，，平面，平面，， 所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确； 对于C项，设直线EG与所成角为. 因为，. 所以， 所以. 因为，所以当时，有最小值，显然有，则有最大值，根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误； 对于D项，因，， 所以，在方向上投影的绝对值为， 由C知，当时，有最小值，则有最大值为， 又，所以，点F到直线EG距离的最小值为，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由点为线段上的动点，设.可以通过的坐标，表示出与点有关的向量. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若与垂直，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直可得，即可求出. 【详解】因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则___. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义得，由点在抛物线上，代方程即可解决. 【详解】由题知，抛物线的焦点，抛物线上一点到点的距离为6， 所以，得， 所以抛物线为， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_________. 【答案】##0.9 【解析】 【分析】利用与的关系将已知转化为，并求出的通项公式. 再利用与的关系求出，写出的通项公式，利用裂项相消求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 当时，,解得符合， ∴，， 当时，符合，∴，， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点和且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）设出圆心、半径，根据已知条件列出方程组，求解方程组即可得到圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，可知直线与圆相离.然后即可得出答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为，则圆的标准方程为. 由已知可得，，解得， 所以，圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以，直线与圆相离. 所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为. 16. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，M，N分别为PB，CD的中点． （1）求证：面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.写出点的坐标，求出向量的坐标，根据，，证明，.即可根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据（1）中点的坐标，求出平面的法向量，进而即可根据向量求解出答案. 【小问1详解】 由已知底面，底面为矩形，易知两两垂直. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，，则，. 所以，，. 则，， 所以，. 因为平面，平面，， 所以面. 【小问2详解】 由（1）可得，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以是平面的一个法向量. 又， 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和，且，，数列满足，，其中. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，由得，两时作差可得，分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，由已知推导出数列为常数列，可求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值. 【小问1详解】 对任意的，，则， 所以即， 又时，，即，由，所以， 所以是等比数列，且首项，公比，则， 因为，所以， 又，所以，是各项为的常数列，则，所以. 【小问2详解】 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 18. 已知椭圆C：（）的短轴长为，P（，1）是椭圆C上一点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点M（m，0）（m为常数，且）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知，，试问是否为定值？若是､请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，定值为8 【解析】 【分析】（1）由题意，，再将代入椭圆即得解； （2）设l的方程为，与椭圆联立，由，可得，，结合韦达定理即得解 【小问1详解】 因为椭圆C的短轴长为2，所以， 又是椭圆C上一点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为，，则， 联立方程组，整理得， 则， ，. 因为，所以， 则， 故为定值，且定值为8 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设（）是的两个零点，是的导函数，证明：． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数并利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的定义域及求导数，对a进行分类讨论，求出的单调性. （3）利用方程组得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为,求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是， 当时，函数的递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 由（）是的两个零点，得，， 且，两式相减得：，即， ， 要证，只需证，即证， 令，只需证， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， 则，函数在上单调递减，于是， 因此，所以. 【点睛】思路点睛：对于多元问题，要能转化为单元问题，通常情况下会由对数的运算性质进行转化，另外会构造新函数进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜章一中2023级高二下期第一次阶段性测试数学试卷 命题人：潘志辉 审题人：赵娟 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知直线l：的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 3. 已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 24 4. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当t=1秒时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 16米/秒 B. 40米/秒 C. 9米/秒 D. 36米/秒 6. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则的离心率为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆M的圆心坐标为 C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切 D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2 10. 下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ） A. 曲线 B. 曲线 C. 曲线 D. 曲线 11. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点G﹐使得平面 C. G为中点时，直线EG与所成角最小 D. 点F到直线EG距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若与垂直，则___________. 13. 设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则___. 14. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过点和且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值． 16. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，M，N分别为PB，CD的中点． （1）求证：面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的前项和，且，，数列满足，，其中. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列前项和. 18. 已知椭圆C：（）的短轴长为，P（，1）是椭圆C上一点. （1）求椭圆C方程； （2）过点M（m，0）（m为常数，且）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知，，试问是否为定值？若是､请求出该值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设（）是的两个零点，是的导函数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$