精品解析：河南省周口市川汇区2024-2025学年九年级上期期中质量监测数学试题

2024－2025学年度上期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式可化为，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而增大；⑤图象与轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二次函数图象上的一个点的坐标_____． 12. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．若将实数对放入其中，得到的新数为，则_____． 13. 如图，中，，将沿射线平移，得到，再将绕点逆时针旋，使得点恰好与点重合，则旋转角为_________． 14. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 15. 如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 18. 如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）直接写出关于不等式的解集． 19. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 20. 如图，在中，是边上一点，． （1）请用尺规作图法，作绕点旋转后得到的，使旋转后的边与边重合；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若中，求的长． 21. “十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润=票房收入－运营成本)为(单位：元)，该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画.若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 23. 综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． （1）操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． （2）迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 2. 把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可求出平移后的抛物线解析式，从而即可获得答案． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移2个单位， 则平移后抛物线的解析式为． 故选：D． 3. 围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．寻找对称中心是解题的关键； 中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 若代数式可化为，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出，，计算即可． 【详解】解： ， 由题意得：，， 解得：，， 则， 故选：B． 5. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而增大；⑤图象与轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大； 故②正确，③错误，④正确； ∵， ∴此抛物线图象的开口向上，故①正确； 当时，， ∴图象与y轴的交点为， 故⑤错误； 综上，①②④正确，正确的个数有3个， 故选：C． 6. 使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据各边之间的关系，可得出墙的邻边长为，再利用矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵铁丝网的总长度为15m，墙的对边长为， ∴墙的邻边长为， 根据题意得： 故选：B． 7. 小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 8. 若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及解不等式，先把二次函数化为顶点式，再列不等式求解即可． 【详解】解：， ∵二次函数的最小值是非负数， ∴． ∴． 故选D． 9. 如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 10. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质． 先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴当时，电功率P有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出二次函数图象上的一个点的坐标_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数为，从而令，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴令，则． ∴二次函数图象上的一个点的坐标为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．若将实数对放入其中，得到的新数为，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入，解一元二次方程即可． 【详解】解：将代入， 解得或． 故答案为：或． 13. 如图，中，，将沿射线平移，得到，再将绕点逆时针旋，使得点恰好与点重合，则旋转角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，然后根据旋转的性质可得，从而证出为等边三角形，问题随之得解． 【详解】解：∵在中，，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴旋转角为， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是平移的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握平移的性质、旋转的性质是解决此题的关键． 14. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键．取的中点N，连接、、，连接，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点E作的延长线于H，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出，的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点N，连接、、，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点，点N是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， 如图所示，过点E作的延长线于H， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则，， 在中，， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，得到，再用配方法解方程即可； （2）先移项，得到，再用因式分解法解方程即可 【小问1详解】 解： 移项，合并同类项，得 配方，得 ； 【小问2详解】 解：． 移项，得 因式分解得 或 ． 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2）的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 即 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 为整数， 整数的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，的值为2． 18. 如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）直接写出关于不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过，可得，求出b可得直线解析式，从而可得B，再代入二次函数的解析式，最后令，从而求得A的坐标； （2）依据题意，由，从而，则关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围，最后结合图象，即可判断得解． 【小问1详解】 直线经过， ∴， ， 直线， 令，则， ∴直线与轴交点． 抛物线经过， ， ∴， 抛物线解析式：， 令， 解得， ． 【小问2详解】 由题意，∵， ∴， ∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同． ∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围． ∴结合图象可得，或． 19. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 20. 如图，在中，是边上一点，． （1）请用尺规作图法，作绕点旋转后得到的，使旋转后的边与边重合；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若中，求的长． 【答案】（1） （作图方法不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、含角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． （2）连接．由题意得，.结合旋转的性质以及等边三角形的判定与性质可得是等边三角形，则，进而可得．再利用勾股定理求出BE的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 中，， ． 旋转后的边与边重合，， 是等边三角形，． 由（1）问旋转可知， 是等边三角形，． 中，， ． 21. “十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润=票房收入－运营成本)为(单位：元)，该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且是整数） （2）40或41元，4560元 【解析】 【分析】（1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； 【小问2详解】 解：根据题意，得： ， ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 或时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是4560元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键． 22. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画.若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 【答案】（1）； （2） 小球M能飞过这棵树； 理由：当时，， ∵， ∴小球能飞过这棵树； （3）小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【解析】 【分析】（1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解； （2）把分别代入和即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：； ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 小球在飞行的过程中离斜坡的高度， ∴小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23. 综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． （1）操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． （2）迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【答案】（1）是邻等对补四边形， 理由如下： 过点P作于点E，于点F，如图1所示： 依题意得：， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 即 是的平分线， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； （2）能构成，此时的长为2或 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）四边形是邻等对补四边形，过点P作于点E，于点F，根据及正方形的性质得，想证明四边形是正方形得，进而可证明和全等，则，由此可得出结论； （2）依题意分两种情况讨论如下：①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，过点P作于点E，于点F，同①可证和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，由此得，则四边形是邻等对补四边形，设，则，，，进而可得的长；②当点P在的延长线上时，时，四边形是邻等对补四边形，过点P作交的延长线于点E，于点F，同①可证和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，，则四边形是邻等对补四边形，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当Q点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形， 分两种情况讨论如下： ①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，理由如下：过点P作于点E，于点F，如图2所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得， ∴，，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ∴； ②当点P在的延长线上时，时， 四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作交的延长线于点E，于点F，如图3所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 此时， 综上所述：当以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形时，的长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $