精品解析：江西省赣州市龙南市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期初中期中考试试卷九年级数学 （总分120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值，下列窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的解是，则的值是（ ） A. 2019 B. 2021 C. 2022 D. 2025 5. 如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的顶点为A，将抛物线向右平移n个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B，设两条抛物线交于点C，的面积为8，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化为一般形式为______． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是___________． 9. 二次函数 的对称轴是直线________． 10. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为______． 11. 若一次函数图像经过第一、二、四象限，则方程有________个根． 12. 如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 15. 如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑． （1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)； （2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形． 16. 如图所示，D是等边三角形内一点，，将绕点A逆时针旋转到的位置，求的周长． 17. 已知二次函数 （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标; （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 19. 如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． （1）请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； （2）一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 22. 观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：______． （2）写出你猜想第个等式：______（用含的等式表示）． （3）若第组图形中左右两边各有210个小黑点，求． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 例1在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 例2分别列表，再画出它们的图象（如图）． x … 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … 0 0.5 1 1.5 2 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … （1）如图是二次函数的图像和一次函数的图像，求出二次函数与一次函数的交点； （2）利用图像直接写出当时，自变量的取值范围． 【拓展应用】 秦明同学在解题中发现，两个函数的交点情况与一元二次方程的解的情况有密切的联系．既而深入思考“将一次函数的图像向下平移多少个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点”，请你帮他解决这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期初中期中考试试卷九年级数学 （总分120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值，下列窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行解答. 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意. 故选B. 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的特点是解题关键. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题的关键是熟练掌握根据顶点式得出顶点坐标． 根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程的解是，则的值是（ ） A. 2019 B. 2021 C. 2022 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及整体代入法，熟练掌握正体代入法是解题关键． 把代入，求得，再将其代入即可． 【详解】解：把代入， 则， 即， 把代入， 得， 故选C． 5. 如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得，由得，由旋转得． 【详解】解：∵将绕顶点顺时针旋转，得到． ∴，旋转角， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A 6. 如图，抛物线的顶点为A，将抛物线向右平移n个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B，设两条抛物线交于点C，的面积为8，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移是解题的关键；根据二次函数的平移求得新的二次函数解析式，再求出两个二次函数的交点坐标，根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过C作于D， 抛物线顶点为A， ， 将抛物线向右平移n个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B， ，，新的抛物线解析式为， 联立，解得：， ， ， 的面积为8， ， 解得：， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】将一元二次方程化为一般形式为：， 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 9. 二次函数 的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式即可得到对称轴． 【详解】解：根据题意可得： 二次函数 的对称轴是直线：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 10. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案：． 11. 若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有________个根． 【答案】两或2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 12. 如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________. 【答案】4或8 【解析】 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4． 【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E， ∵△ACD是正方形ABCD剪开得到， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠A=45∘， ∴△AA′E是等腰直角三角形， ∴A′E=AA′=x， A′D=AD−AA′=12−x， ∵两个三角形重叠部分的面积为32， ∴x(12−x)=32， 整理得,x−12x+32=0， 解得x=4,x=8， 即移动的距离AA′等4或8. 【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 14. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 15. 如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑． （1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)； （2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键． （1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可； （2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，即为所求作图形， 【小问2详解】 如下图所示，即为所求作的图形， 16. 如图所示，D是等边三角形内一点，，将绕点A逆时针旋转到的位置，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质．先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，则可判断为等边三角形，从而得到，然后计算的周长． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 17. 已知二次函数 （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标; （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【答案】（1）开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1） （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答． （2）结合题意，列式，即可作答． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：依题意，（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 19. 如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． （1）请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； （2）一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【答案】（1）； （2）这些木板最高可堆放米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）可令O为坐标原点，平行于直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式． （2）当时，求得的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得B点坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴木板最高可堆放(米)． 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 22. 观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示）． （3）若第组图形中左右两边各有210个小黑点，求． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为10． 【解析】 【分析】（1）根据上面的等式规律继续写出第五个等式即可； （2）根据等式规律总结出第个等式； （3）由（2）的规律解方程即可． 【详解】解：由得出： 由得出： 由得出： 由得出： （1）由题知第5个等式为： 即， 故答案为：； （2）由题知第个等式为：， 故答案为：； （3）由题知， 即； 解得或（舍去）， 故此时的值为10． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出等式两边的数字变化规律是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 例1在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 例2分别列表，再画出它们的图象（如图）． x … 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … 0 0.5 1 1.5 2 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … （1）如图是二次函数的图像和一次函数的图像，求出二次函数与一次函数的交点； （2）利用图像直接写出当时，自变量的取值范围． 【拓展应用】 秦明同学在解题中发现，两个函数的交点情况与一元二次方程的解的情况有密切的联系．既而深入思考“将一次函数的图像向下平移多少个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点”，请你帮他解决这个问题． 【答案】（1）和；（2）；[拓展应用]将一次函数的图像向下平移个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数与二次函数的交点问题，平移，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列式，分别算出，，即可作答． （2）运用数形结合思想得出当时，自变量的取值范围为，即可作答． [拓展应用]先设将一次函数的图像向下平移n个单位长度，得，列式得，则，所以，解得，即可作答． 【详解】解：（1）如图所示： ， 则， 即， 解得，， 分别把，代入，算出，， ∴二次函数与一次函数的交点为和， （2）由（1）知二次函数与一次函数的交点为和， 结合（1）的图像，当时，即； [拓展应用]设将一次函数的图像向下平移n个单位长度，得，能与二次函数的图像有且只有一个交点， 得 ∴， 则， ∴， 解得， ∴将一次函数的图像向下平移个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$