江苏省南通市如皋中学2024-2025学年高一上学期期末模拟（1）数学试题（12.26）

试卷第 1页，共 11页 高一年级数学上学期期末模拟试卷（1） （时间：120 分钟 总分：150 分） 一、单选题 1．已知全集  1, 0,1, 2U   ，  2A x x x  ，则 U A ð （ ） A． 1,1,2 B． 1,0, 2 C． 1, 2 D． 0,1 【答案】C 【详解】因为全集  1, 0,1, 2U   ，    2 0,1A x x x   ，故  1, 2U A  ð . 故选：C. 2．下列函数为奇函数的是（ ） A． 2y x= B． exy  C． tany x D． lny x 【答案】C 【详解】A. 2y x= 的图象关于 y轴对称，是偶函数，故 A 错误； B. exy  是非奇非偶函数，故 B 错误； C. tany x 是奇函数，故 C 正确； D. lny x 的定义域是  0,  ，是非奇非偶函数，故 D 错误. 故选：C 3．已知函数  f x 在区间 ,a b 具有单调性，且     0f a f b  ，则方程   0f x  在区间 ,a b 上（ ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【答案】B 【详解】因为     0f a f b  ,  f x 在区间 ,a b 具有单调性， 但是  f x 的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知  f x 在区间  ,a b 至多只有一实根. 故选：B. 4． 2 1 2 x x   成立的一个充分不必要条件是（ ） A． 2 2x   B． 2 2x   C． 72 4 xx    D．   10, 2 ,cos 2 x x  答案 A 试卷第 2页，共 11页 5．化简 1 2sin 4cos 4 的结果是（ ） A．sin 4 cos4 B． sin 4 cos 4 C． cos 4 sin 4 D． sin 4 cos4  【答案】C 【详解】  21 2sin 4cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 cos 4     , 而 5π 3π4 4 2   ，故 cos 4 sin 4 ，故 1 2sin 4cos 4 cos 4 sin 4   ， 故选：C 6.若  sin 2 cos 2 2 6         ，则   的可能取值为 A． 2 3  B． 3  C． 6  D． 5 6  【答案】B 不难看出，  sin 2 cos 3 2 6         ，故必须满足取等条件，即  sin 2 1,cos 2 1 6          2 2 , 2 2 , , 6 2 k m k m Z           ，解得 , 3 u u Z       ， , 3 u u Z       所以选 B 7．定义在区间 0, 2       上的函数 6cosy x 的图象与 5 tany x 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥ x轴于 点 P1,直线 PP1 与 siny x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为（ ） A．1 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 6 【答案】B 【详解】由 6cosx＝5tanx,6cos2x＝5sinx,6sin2x＋5sinx－6＝0，得 sinx＝ 2 3 ．由题意知线段 P1P2的长即为垂线 P1P2与 y＝sinx 图象交点的纵坐标，故 P1P2的长为 2 3 ． 8．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，其周长记为 C，面 积为 S,则 2C S 的最小值是（ ） A．9 4 2 B．8 2 C． 16 3 3 D． 32 3 3 【答案】D 设剪成的小正三角形的边长为 ， 试卷第 3页，共 11页 则 . 令 ， 则 故当 时， 的最小值是 . 二、多选题 9．设函数    23sin log 1ax x axf x   ＝ 是偶函数，则实数 a的值为（ ） A．1 B．-1 C．0 D．3 答案：ABC 特别注意：本题容易漏选 C 第一种情况：   0f x  ，a=0， 第二种情况：   0f x  ，sin ax为奇函数，且仅为奇函数，故    2 23 3log 1 log 1x ax x ax          ， 故   2 21 1 1x ax x ax     ，即 2 2 21 1x a x   ，故 a 为正负 1. 10．设   1, Q D 0, Q x x x     （Q表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ） A．  D x 是偶函数 B．   , 1x D D x  R 试卷第 4页，共 11页 C．对于任意的有理数 t，都有    D x t D x  D．不存在三个点         1 1 2 2 3 3, , , , ,A x D x B x D x C x D x ，使 ABC为正三角形 【答案】ABC 【详解】A：由  D x 定义知：定义域关于原点对称，当 xQ 则 x Q， 当 x Q Rð 则 x Q  Rð ，即有    D x D x  ，故  D x 是偶函数，正确； B：由解析式知：  , 1x D x  R 或   0D x  ，即    1D D x  ，正确； C：任意的有理数 t，当 xQ 时， x t Q  即    D x t D x  ，当 x Q Rð 时， x t Q  Rð 即    D x t D x  ， 正确； D：若存在 ABCV 为正三角形，则其高为 1，边长为 2 3 3 ，所以当 3 3( ,0), (0,1), ( ,0) 3 3 A B C 时成立，存在， D 错误； 故选：ABC． 11．已知函数 ( ) cos ( 0) 4 f x x         ，则下列说法正确的是（ ） A．若将 ( )f x 图象向左平移 4  个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为 4 B．若 6 3 f f            ，则的最小值为 1 C．若 ( )f x 在 , 2 π π     内单调递减，则的取值范围为 1 5, 2 4      D．若 ( )f x 在 , 2 π π     内无零点，则的取值范围为 3 7, 2 4      答案 BC ( ) cos cos sin 4 4 2 4 f x x x x                              ，  0  ， 若将 ( )f x 图象向左平移 4  个单位，所得 sin( )4 4 y x     图象与原来的图象重合， 则 2 4 k  ， Zk ， 8k  ， Zk ，故的最小值为 8，故 A 错误； 若 6 3 f f            ，且最小，则函数的图象关于直线 4 x  对称， 4 4 2 k        ， Zk ，即 4 1k   ，则的最小值为 1，故 B 正确； 试卷第 5页，共 11页 若 ( )f x 在 , 2 π π     内单调递减，由 , 2 x       ，所以 , 424 4 π ω π πω πx π ω        ，则 2 2 4 2 32 4 2 k k                   ， Zk ， 解得 1 54 2 2 4 k k  ， Zk ，令 0k  ，可得的取值范围为 1 5, 2 4      ，故 C 正确； 若 ( )f x 在 , 2 π π     内无零点，则 2 4 4 k k                ， Zk ，解得 1 32 2 4 k k  ， Zk ， 令 0k  ，可得的取值范围 30, 4      ；令 1k  ，可得的取值范围 3 7, 2 4      ， 故的取值范围为 3 3 70, , 4 2 4           ，故 D 错误， 三、填空题 12．若   1cos π 3    ， πcos 2       . 【答案】 2 2 3  【详解】   1cos π cos 3       ，则 1cos 3   .则 3 πc s 2 2 2o       . 故答案为： 1 3 ． 13．已知函数 2( ) 1f x x mx   ，若对于任意的  , 1x m m  都有 ( ) 0f x  ，则实数m的取值范围为 . 【答案】 2 ,0 2        【详解】考察简单的实根分布，不难看出，函数 2( ) 1f x x mx   的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的  , 1x m m  都有 ( ) 0f x  成立，   2 2 2 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( 1) 1 0 f m m m f m m m m              ，解得 2 0 2 m   ， 所以实数m的取值范围为 2 ,0 2        ． 试卷第 6页，共 11页 14．设  f x 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 0,1 上，  f x x ，则     lgg x f x x  的大于 2 的零点个数是 【答案】7 画图 四、解答题 18．（13 分）设函数 ( ) sin( 2 ) ( π 0), ( )f x x y f x        图象的一条对称轴是直线 π 8 x  . (1)求cos ； (2)求函数 ( )y f x 的单调减区间. 【详解】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为 12 π π, Z 2 x k k    ，（2 分） 因为 π 8 x  是函数图象的一条对称轴， 所以 π 1 π2 π π, Z =- π- , Z 8 2 4 k k k k         ，（4 分） 又 π 0   ，所以 3π 4    ， 3π 2cos cos 4 2          （6 分） （2）因为   3πsin 2 4 f x x       ，（7 分） 所以 1 3π 12 π π 2 2 π π, Z 2 4 2 k x k k      ， 解得 π 5ππ π , 8 8 k x k k    Z，（11 分） 函数 ( )y f x 的单调减区间为 π 5ππ , π , Z 8 8 k k k      .（13 分） 15.（15 分）设   3 2 2 x x x xf x b     为奇函数，    0,1 1,b  . （1）求b； 试卷第 7页，共 11页 （2）判断并证明 ( )f x 的单调性. （1）由必要性：  1 (1)f f   ，可得 1 3 b  ，（2 分） 下证充分性：  f x 的定义域R 关于原点对称.（3 分） 1 3 b  时，   3 2 1 2 3 1 6 3 2 1 2 3 1 6 x x x x x x x x x xf x              所以    1 6 6 1 1 6 6 1 x x x xf x f x           ，则  f x 是奇函数.（7 分） （2）由（1）知   1 6 21 1 6 6 1 x x xf x        ，  f x 在R 上单调递减.（9 分） 证明如下：任取 1 2x x R ，则          2 1 1 2 1 2 1 2 2 6 62 2 6 1 6 1 6 1 6 1 x x x x x x f x f x          ，（12 分） 因为函数 6xy  在R 上是增函数，（13 分）且 1 2x x ，所以 2 16 6 0x x  ，又   1 26 1 6 1 0x x   ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以函数  f x 在R 上单调递减.（15 分） 17.（15 分）设 2 2 1 4 9 sin cos    . （1）求 2tan  ； （2）若 cos tan  ，求 的取值集合. （1）方法 1：消元 2 2 1 4 9 1 cos cos     ， 2 2 1 4 9 1 cos cos     2 21 cos 0,cos 0    ，    2 2 2 24 1 cos cos 9 1 cos cos       解得 2 2cos 3   ，既有 2 1sin 3  ，故 2 1tan 2   （9 分） 方法 2：齐次化  2 22 2 2 2 4 sin cossin cos 9 sin cos         ，可得   2 2 2 tan 1 4 tan 1 9 tan        ，解得（也可以这里发现基本 不等式） 2 1tan 2   （9 分） 试卷第 8页，共 11页 优雅方法 3：夹逼准则   2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4sin cossin cos 5 9 sin cos cos sin                  当且仅当 2 2 2 2 4sin cos cos sin      取等， 2 1tan 2   又 2 2 1 4 9 sin cos    ，故取等条件必须成立，即 2 1tan 2   （9 分） （2） 2cos tan 2     ，故 ,4 2 k k Z         （15 分，拆成四种情况写的如果漏写，写对一种 给 1 分，） 18．（17 分）已知函数 ( ) sin( )f x A x   （ 0A  ， 0  ， π| | 2   ）的图象如图所示.将函数� = � � 的图 象向右平移 π 6 个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的曲线 对应的函数记作� = � � . (1)求函数 2 5( ) 2 6 xh x f g x              的最小值； (2)若函数  2( ) 2 ( ) 1F x g x mg x    在 (0, 4π) 内恰有 6 个零点，求m . 【详解】（1）观察图象得 1A  ， ( )f x 最小正周期为 T， 7π π π , π 2 12 12 2 T T    ，则 2π 2 T    ，（2 分） 而 π πsin 2 1 12 12 f               ，则 π 2 π 3 k   ， kZ ，（4 分） 又 π| | 2   ，于是得 π 3   ， 所以 π( ) sin(2 ) 3 f x x  ，（5 分） 由题意得 1 π π( ) sin 2 sin 2 6 3 g x x x          ，  2 2 25 π π( ) sin cos ( ) 1 , 1,1 2 6 3 3 xh x f g x x x m t t t t                                   （7 分） 试卷第 9页，共 11页 最小值为-1（8 分） （2）依题意 2( ) 2sin sin 1F x x m x    ，mR， 令 ( ) 0F x  ，可得 22sin sin 1 0x m x   ， 令 sin [ 1,1]t x   ，得 22 1 0t mt   ， 由于 2 8 0m    ，即方程必有两个不同的实数根 1t ， 2t ，且 1 2 2 mt t  ， 1 2 1 2 t t   ， 由 1 2 1 0 2 t t    知 1t 、 2t 异号，不妨设 1 0t  ， 2 0t  ，（11 分） ①若 1 1t  ，则 2 1 1 1 ,0 2 2 t t         ， 1sin x t ，无解， 而 2sin x t 在 (0, 4π) 内有四个零点，不符题意；（13 分） ②若 1 1t  ，则 2 1 2 t   ， sin 1x  在 (0, 4π) 内有 2 个零点， 而 1sin 2 x   在 (0, 4π) 内有 4 个零点， 即 ( )F x 在 (0, 4π) 内有 6 个零点，符合题意， 此时 11 2 2 m   ，得 1m  ；（15 分） ③若 10 1t  ， 2 1 1 1 2 2 t t     ， 1sin x t 在 (0, 4π) 有 4 个零点， 则 2sin x t 在 (0, 4π) 内应恰有 2 个零点，必有 2 1t   ， 此时 1 1 2 t  ， 11 2 2 m    ，解得 1m   ， 综上所述有 1m  或 1m   ．（17 分） 19．（17 分）已知函数 ( )0) 1(x xf x a b a b    ， 1ab  . （1）函数    g x f x c  有且只有 1 个零点，求 c . （2）若对任意 x R ，不等式 (2 ) ( ) 6f x mf x  恒成立，求实数 m 的最大值； （3）已知正数 t满足：存在  1x  ， ，使得 3( ) ( 3 )f x t x x   成立，试比较 t与 1 1 2 a a       的大小并 说明理由. 解（1） 1a b  ，可化为 1 0x x a c a         有且仅有一个根（1 分），设 0xa l  （2 分） 试卷第 10页，共 11页 1 0l c l    有且仅有一正根， 2 1 0l cl   有且仅有一正根，（3 分）由韦达定理，原方程不可能一正一负 两根，故两正等根，故 2c  .（4 分） （2）由条件知 2 2 2 2(2 ) ( ) 2 ( ( )) 2x x x xf x a b a b f x       . 因为 (2 ) ( ) 6f x mf x  对于 x R 恒成立，且 ( ) 0f x  ， 所以 2( ( )) 4 ( ) f xm f x   对于 x R 恒成立.（6 分） 而 2( ( )) 4 4 4( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x       ，且 2( (0)) 4 4 (0) f f   ， 所以 4m  ，故实数m的最大值为 4.（9 分） （3）先证    3 3x xg x a a t x x     在 1, 上递增， , [1x y  ， ) ，x<y,      3 3( ) 3 3x x y yg x g y a a t x x a a t x x                3 3 3 311 1 3 3 313x y x yx y x ya t x x a t y y a a t x x y ya a a a                      2 2 011 3x y x y x y x ya a ta xya              所以    3 3x xg x a a t x x     在在 1, 上递增，（13 分） 由于存在 [1x ， ) ，使得    3 3 0x xg x a a t x x      成立， 即  min 0g x  , 故 1a 2 0 a t   ，（14 分） 1 1a 2 a t       ，作差  1 1 1 11 2 1 2 1 2 a a a a a aa                    （15 分） 又   1p a a a   在  0, 上递增，故有    1 11 1 0 1 p a a p a       （16 分）  1 11 02 a a a        即 1 2 1 a 2 11t a a a               （17 分） 试卷第 11页，共 11页 试卷第 1页，共 4页 高一年级数学上学期期末模拟试卷（1） （时间：120 分钟 总分：150 分） 一、单选题 1．已知全集  1, 0,1, 2U   ，  2A x x x  ，则 U A ð （ ） A． 1,1,2 B． 1,0, 2 C． 1, 2 D． 0,1 2．下列函数为奇函数的是（ ） A． 2y x= B． exy  C． tany x D． lny x 3．已知函数  f x 在区间 ,a b 具有单调性，且     0f a f b  ，则方程   0f x  在区间 ,a b 上（ ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 4． 2 1 2 x x   成立的一个充分不必要条件是（ ） A． 2 2x   B． 2 2x   C． 72 4 xx    D．   10, 2 ,cos 2 x x  5．化简 1 2sin 4cos 4 的结果是（ ） A．sin 4 cos4 B． sin 4 cos 4 C． cos 4 sin 4 D． sin 4 cos4  6.若  sin 2 cos 2 2 6         ，则   的可能取值为 A． 2 3  B． 3  C． 6  D． 5 6  7．定义在区间 0, 2       上的函数 6cosy x 的图象与 5 tany x 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥ x轴于 点 P1,直线 PP1 与 siny x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为（ ） A．1 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 6 8．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，其周长记为 C，面 积为 S,则 2C S 的最小值是（ ） 试卷第 2页，共 4页 A．9 4 2 B．8 2 C． 16 3 3 D． 32 3 3 二、多选题 9．设函数    23sin log 1ax x axf x   ＝ 是偶函数，则实数 a的值为（ ） A．1 B．-1 C．0 D．3 10．设   1, Q D 0, Q x x x     （Q表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ） A．  D x 是偶函数 B．   , 1x D D x  R C．对于任意的有理数 t，都有    D x t D x  D．不存在三个点         1 1 2 2 3 3, , , , ,A x D x B x D x C x D x ，使 ABC为正三角形 11．已知函数 ( ) cos ( 0) 4 f x x         ，则下列说法正确的是（ ） A．若将 ( )f x 图象向左平移 4  个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为 4 B．若 6 3 f f            ，则的最小值为 1 C．若 ( )f x 在 , 2 π π     内单调递减，则的取值范围为 1 5, 2 4      D．若 ( )f x 在 , 2 π π     内无零点，则的取值范围为 3 7, 2 4      三、填空题 12．若   1cos π 3    ， πcos 2       . 13．已知函数 2( ) 1f x x mx   ，若对于任意的  , 1x m m  都有 ( ) 0f x  ，则实数m的取值范围为 . 14．设  f x 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 0,1 上，  f x x ，则     lgg x f x x  的大于 2 的零点个数是 试卷第 3页，共 4页 四、解答题 15．（13 分）设函数 ( ) sin( 2 ) ( π 0), ( )f x x y f x        图象的一条对称轴是直线 π 8 x  . (1)求cos ； (2)求函数 ( )y f x 的单调减区间. 16.（15 分）设   3 2 2 x x x xf x b     为奇函数，    0,1 1,b  . （1）求b； （2）判断并证明 ( )f x 的单调性. 17.（15 分）设 2 2 1 4 9 sin cos    . （1）求 2tan  ； （2）若 cos tan  ，求 的取值集合. 试卷第 4页，共 4页 18．（17 分）已知函数 ( ) sin( )f x A x   （ 0A  ， 0  ， π| | 2   ）的图象如图所示.将函数� = � � 的图 象向右平移 π 6 个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的曲线 对应的函数记作� = � � . (1)求函数 2 5( ) 2 6 xh x f g x              的最小值； (2)若函数  2( ) 2 ( ) 1F x g x mg x    在 (0, 4π) 内恰有 6 个零点，求m . 19．（17 分）已知函数 ( )0) 1(x xf x a b a b    ， 1ab  . （1）函数    g x f x c  有且只有 1 个零点，求 c . （2）若对任意 x R ，不等式 (2 ) ( ) 6f x mf x  恒成立，求实数 m 的最大值； （3）已知正数 t满足：存在  1x  ， ，使得 3( ) ( 3 )f x t x x   成立，试比较 t与 1 1 2 a a       的大小并 说明理由.