精品解析：山东省滨州市阳信县2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性学习力调研 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共个8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数和反比例函数图像，则二次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 5. 如图，切于点B，交于点D且为的直径，点E是上异于点A、D的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则下列结论错误的是( ) A. 是等边三角形 B. 弦的长等于圆内接正十二边形的边长 C. 平分弦 D. 7. 二次函数的图象如图，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤（实数．其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 如果反比例函数的图像在每个象限内，随着的增大而减小，那么的取值范围是_______． 10. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是________． 12. 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝_______． 13. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为_____． 14. 如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为________． 15. 如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为___________． 16. 如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … （1）填空：表中________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）用配方法将化成的形式． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，，求阴影部分的面积； 20. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 21. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 22. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性学习力调研 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共个8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 2. 已知力F所做的功W为15焦，则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数图象为双曲线．根据，当时，则，再根据反比例函数的图象可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴图象为反比例函数图象，且过第一象限， 故选：D． 3. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 4. 如图，一次函数和反比例函数图像，则二次函数的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可． 【详解】解：观察图象可得：， 二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， 则二次函数的图象可能是 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键． 5. 如图，切于点B，交于点D且为的直径，点E是上异于点A、D的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意知 ， ，， ， ． 故选：B． 6. 如图，在中，，，则下列结论错误的是( ) A. 是等边三角形 B. 弦的长等于圆内接正十二边形的边长 C. 平分弦 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的内接多边形的性质与垂径定理，圆周角定理及等边三角形的判定和性质的知识，注意数形结合是解题关键． 首先，得到A选项正确；由垂径定理确定C选项正确，又由垂径定理，求得，得到B选项正确，根据同弧所对的圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得，则D选项错误． 【详解】， 是等边三角形，故选项A正确，不符合题意； ， ， 平分弦，故选项C正确，不符合题意； ，， ， ， 弦的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项B正确，不符合题意， ，故选项D错误，符合题意． 故选D． 7. 二次函数的图象如图，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握它们的性质是解题的关键；根据二次函数的顶点坐标和开口得，，然后根据与一元二次方程的关系列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】解∵二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴，即， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤（实数．其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①对称轴在轴的右侧， ， 由图象可知：， ， 故①不正确； ②当时，， ， 故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于0，即， 故③正确； ④， ， ， ， ， 故④不正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 如果反比例函数的图像在每个象限内，随着的增大而减小，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 【详解】∵反比例函数的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∴， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 10. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是． 故答案为：． 12. 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝_______． 【答案】． 【解析】 【分析】过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出． 【详解】解：过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图： ∵，反比例函数经过B点 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键． 13. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．通过求二次函数的对称轴，比较各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下． 对称轴为． 点和点到对称轴的距离均为和，关于对称轴对称， 故． 点到对称轴的距离为，距离最大，由于开口向下，函数值最小， 故． 因此，． 故答案为：． 14. 如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，矩形的判定与性质，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．证明四边形是矩形，则有，再根据正三角形是的内接正三角形，求出，从而即可求得结果． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正三角形是的内接正三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据与x轴相切得到圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1,再利用函数解析式求出点P的横坐标即可． 【详解】解：当与x轴相切时，圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1, 又∵圆心P在抛物线上运动； ∴； 解得或； 因此圆心p的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了二次函数、直线与圆相切，数形结合是解题的关键． 16. 如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，． 可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即． ∵点C在上，，点D是的中点， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 15 m n 5 … （1）填空：表中________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）用配方法将化成的形式． 【答案】（1）5； （2） 画图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数值的计算，描点法画图象及配方法，熟练掌握计算方法，会画函数图象是解题的关键． （1）根据解析式，计算函数值即可； （2）利用描点法画图象的基本步骤解答即可； （3）利用配方法计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）设直线交x轴于点C，则，根据进行求解即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线交x轴于点C，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当，即时，自变量的取值范围为或． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据三角形的内角和定理求出，由得到，从而利用三角形的内角和定理可得； （2）由点D是斜边上的中线可得，又由，得到为等边三角形，从而得到，根据扇形面积公式求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 D是的中点，且， ， ， 为等边三角形， ， 阴影部分的面积为． 20. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由平移的性质可得点B的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）知点 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为． 21. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ 同理： ∵ ∴,即． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键． 22. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定价为45元，利润最大，最大利润是2250元， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （3）根据，，得到时，w有最大值2250，定价为45元． 【小问1详解】 解：∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， ∴； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵，， ∴当时，w有最大值， 最大值为2250， 此时定价为：（元）． 23. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设与交于点F，利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点F，如图， 为的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答：的长为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∵点是线段上一点（点不与两端点重合）， ∴分以下两种情况讨论： 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $