广东省佛山市顺德区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市顺德区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1．（3分）在﹣2，0，，1.7中，无理数是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．1.7 2．（3分）﹣27的立方根是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．不存在 3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，4） D．（﹣4，6） 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．同位角相等 7．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 8．（3分）在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为194cm的队员受伤，教练让身高为190cm的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 9．（3分）若点（a，b）在第四象限，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11．（3分）如果电影票上的“2排5号”记作（2，5），那么4排3号记作　 　． 12．（3分）若点A（﹣1，m）、点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+3上，则m　 　n（填写“＞”“＜”或“＝”）． 13．（3分）如图，函数y＝ax+b和y＝mx+n的图象交于点P．根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是　 　． 14．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是 　 　． 15．（3分）如图，将五角星沿着虚线FG剪下．若∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A，则∠CFG+∠DGF＝ 　 　． 三、解答题（8个题，共75分） 16．（8分）（1）计算：； （2）解方程组：． 17．（7分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的动点，连接AD并延长至点E，连接CE．AF、EG分别是∠BAD，∠DEC的角平分线．给出三个信息：①AB＝CE；②BD＝CD；③AF∥EG．从中选择两个为条件，另一个为结论，构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　 　，结论是 　 　；（填序号） （2）证明你构造的真命题． 18．（7分）甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 19．（8分）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x＜85，B组85≤x＜90，C组90≤x＜95，D组95≤x≤100）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人？ 20．（9分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，劳动课成为一门独立的课程．某校在校园一块闲置的空地上开辟了一块四边形劳动教育基地，供同学们进行劳动实践．如图，∠BAD＝90°，AB＝24米，AD＝7米，BC＝15米，CD＝20米． （1）求这块地的面积； （2）利用尺规作图法将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形．（保留作图痕迹，写出简要的作图依据） 21．（10分） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义． （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是　 　，反映客运公司行政代表意见的是　 　． 问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 x/万人 1.4 1.1 1.1 1.3 1.4 1.4 1.4 经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由． 22．（12分）在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）； （2）P是x轴上的动点，当△A1B1P为等腰三角形时，求出P点坐标． 23．（14分）直线l：y＝x+a（a＞0）分别交x、y轴于A、B两点，且点C坐标为（a，0）．点D、点E分别是线段AC、AB上的动点，CE与BD交于点P． （1）如图1，若CE交y轴于点G，BE＝BG，CB＝CD，求∠BPC的大小； （2）如图2，若AE+ADAB，BD+CE的最小值是5，求直线l的表达式； （3）如图3，当a＝6时，点D是CO中点，CE与BD的夹角是45°，求点E的坐标． 2024-2025学年广东省佛山市顺德区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D D C B C A 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1．（3分）在﹣2，0，，1.7中，无理数是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．1.7 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【解答】解：A、﹣2是整数，属于有理数，故不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是无理数，故符合题意； D、1.7是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查无理数，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）﹣27的立方根是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．不存在 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣27的立方根是﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根号的也不是最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、分母中含有二次根号，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 4．（3分）若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，4） D．（﹣4，6） 【答案】A 【分析】根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点M在第三象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6， ∴点M的横坐标为﹣6，纵坐标为﹣4， ∴点M的坐标为（﹣6，﹣4）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【解答】解：A． 23，所以A选项不符合题意； B．32，所以B选项不符合题意； C． 4，所以C选项不符合题意； D． 3，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 6．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．同位角相等 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质、线段的性质、全等三角形的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，正确，是真命题，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，正确，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、线段的性质、全等三角形的性质及平行线的性质，难度不大． 7．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得∠C＝∠CEF＝45°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠C＝∠CEF＝45°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠CED＝∠DEF﹣∠CEF＝15°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（3分）在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为194cm的队员受伤，教练让身高为190cm的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案． 【解答】解：用一名身高190cm的队员换下场上身高194cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变， 所以他们的平均数变小， 由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小． 故选：B． 【点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键． 9．（3分）若点（a，b）在第四象限，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点（a，b）在第四象限，可以得到a、b的取值范围，然后根据一次函数的性质，可以得到直线y＝ax+b经过哪几个象限． 【解答】解：∵点（a，b）在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴直线y＝ax+b经过第一、三、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的性质、平面直角坐标系，解答本题的关键是求出a、b的正负，利用一次函数的性质解答． 10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】由勾股定理得AC2﹣AB2＝BC2，再由正方形面积公式得S3﹣S1＝S2，求出S2＝10，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴AC2﹣AB2＝BC2， ∴S3﹣S1＝S2， ∵S3+S2﹣S1＝20， ∴S2＝10， ∴阴影部分的面积为S2＝5， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到S3﹣S1＝S2． 二、填空题（5个题，每题3分，共15分） 11．（3分）如果电影票上的“2排5号”记作（2，5），那么4排3号记作　（4，3）　． 【答案】（4，3）． 【分析】根据题中规定的意义写出一对有序实数对． 【解答】解：∵影票上的“2排5号”记作（2，5）， ∴“4排3号”记作（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，有序实数对与点一一对应；记住平面直角坐标系中特殊位置的点的坐标特征． 12．（3分）若点A（﹣1，m）、点B（5，n）均在直线y＝﹣2x+3上，则m　＞　n（填写“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵一次函数k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣1＜5， ∴m＞n． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是关键． 13．（3分）如图，函数y＝ax+b和y＝mx+n的图象交于点P．根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是　　． 【答案】． 【分析】方程组的解就是两函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝mx+n的图象交于点P（1，1）， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．． 14．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是 　1　． 【答案】1． 【分析】利用勾股定理计算即可． 【解答】解：， ∴点A所表示的数是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查数轴，掌握勾股定理是解题的关键． 15．（3分）如图，将五角星沿着虚线FG剪下．若∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A，则∠CFG+∠DGF＝ 　210°　． 【答案】210°． 【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，∵∠AMN＝∠C+∠E，∠ANM＝∠B+∠D，而∠AMN+∠ANM+∠A＝180°， ∴∠C+∠E+∠B+∠D＝180°﹣∠A， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， 又∵∠B+∠C+∠D+∠E＝5∠A， ∴∠A+5∠A＝180°， 解得∠A＝30°， ∴∠CFG+∠DGF＝∠AFG+∠AGF+∠A+∠A＝180°+30°＝210°， 故答案为：210°． 【点评】本题考查三角形的内角与外角，掌握三角形内角和定理以及外角的性质是正确解答的关键． 三、解答题（8个题，共75分） 16．（8分）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）﹣6； （2）． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先把方程组变形为，再利用加减消元法求出x，然后利用代入求出y，从而得到原方程组的解． 【解答】解：（1）原式23 ＝363 ＝﹣6； （2）， ①×3+②得10x＝50， 解得x＝5， 把x＝5代入①得10﹣y＝﹣5， 解得y＝15， 所以原方程组的解为． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组． 17．（7分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的动点，连接AD并延长至点E，连接CE．AF、EG分别是∠BAD，∠DEC的角平分线．给出三个信息：①AB＝CE；②BD＝CD；③AF∥EG．从中选择两个为条件，另一个为结论，构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　①③　，结论是 　②（答案不唯一）　；（填序号） （2）证明你构造的真命题． 【答案】（2）①③；②（答案不唯一）； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据所选择的两个条件能证明△ABD和△ECD，另一个作为结论，得到的命题是真命题，因此选择的条件是①③或②③；②或①（答案不唯一）； （2）当条件是①③，结论是②时，先根据角平分线定义及平行线的性质证明∠BAD＝∠CED，进而可依据“AAS”判定△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；当条件是②③，结论是①时，同理可证∠BAD＝∠CED，进而可依据“AAS”判定△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）如果选择的条件是①③，则结论是②，此命题是真命题； 如果选择的条件是②③，则结论是①，此命题是真命题，因此答案不唯一， 故答案为：①③；②（答案不唯一）； （2）当条件是①③，结论是②时，证明如下： ∵AF、EG分别是∠BAD，∠DEC的角平分线， ∴∠DAF∠BAD，∠DEG∠CED， ∵AF∥EG， ∴∠DAF＝∠DEG， ∴∠BAD＝∠CED， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴BD＝CD； 当条件是②③，结论是①时，证明如下： 同理可证：∠BAD＝∠CED， 在△ABD和△ECD中， ， △ABD≌△ECD中（AAS）， ∴AB＝CE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 18．（7分）甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y＝100根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为（1﹣10%）x+（1+40%）y＝100（1+20%）． 【解答】解：设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得 ， 解得：． 答：甲种商品原来的单价是40元，乙种商品原来的单价是60元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 19．（8分）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x＜85，B组85≤x＜90，C组90≤x＜95，D组95≤x≤100）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　90　，b＝　90.5　，m＝　25　； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人？ 【答案】（1）90、90.5、25； （2）八年级成绩更好，理由见解答； （3）580人． 【分析】（1）根据八年级在D组人数可求出“D组”所占的百分比，即可求出m的值，根据中位数、众数的意义可求出a、b的值； （2）通过中位数进行分析得出答案； （3）分别求出七、八年级样本中的优秀率，进而根据七、八年级的优秀率求出八、九年级的满分人数，再求出总体中的优秀人数． 【解答】解：（1）七年级成绩的众数a＝90，八年级成绩位于A、B组的人数为20×（20%+25%）＝9（人）， 所以八年级成绩的中位数b90.5， ∵D组人数为20﹣（9+6）＝5（人）， ∴m%100%＝25%，即m＝25； 故答案为：90、90.5、25； （2）八年级成绩更好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 所以八年级成绩的高分人数多于七年级， 所以八年级成绩更好； （3）500600580（人）， 答：估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有580人． 【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． 20．（9分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，劳动课成为一门独立的课程．某校在校园一块闲置的空地上开辟了一块四边形劳动教育基地，供同学们进行劳动实践．如图，∠BAD＝90°，AB＝24米，AD＝7米，BC＝15米，CD＝20米． （1）求这块地的面积； （2）利用尺规作图法将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形．（保留作图痕迹，写出简要的作图依据） 【答案】（1）234平方米； （2）见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理证明∠BCD＝90°，四边形的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积； （2）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，连接OA，OC即可． 【解答】解：（1）连接BD． ∵∠BAD＝90°，AD＝7米，AB＝24米， ∴BD25， ∵BC＝15米，CD＝20米， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD的面积•AB•AD•BC•CD7×2415×20＝234（平方米）； （2）如图，四边形AOCD，四边形AOCB的面积相等． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（10分） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义． （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是　图3　，反映客运公司行政代表意见的是　图2　． 问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 x/万人 1.4 1.1 1.1 1.3 1.4 1.4 1.4 经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由． 【答案】（1）点A的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点B的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）图3，图2； （3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 【分析】（1）根据图象可得A，B的实际意义； （2）根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象可得答案； （3）分别求出3中方案的利润，再比较即可． 【解答】解：（1）点A的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点B的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）观察图象可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2； 故答案为：图3，图2； （3）该线路一周内乘客数量为1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4＝9.1（万人），每天乘客数量平均为9.1÷7＝1.3（万人）， 设原来y与x的函数关系式为y＝kx+b，把（0，﹣1），（1.5，0）代入得： ， 解得， ∴原来y与x的函数关系式为yx﹣1； 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时y与x的函数关系式为yx﹣0.8， 令x＝1.3得y1.3﹣0.8， ∴客运公司平均每天利润为万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时y＝0.8x﹣1， 令x＝1.3得y＝0.8×1.3﹣1＝0.04， ∴客运公司平均每天利润为0.04万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时y＝0.75x﹣0.9， 令x＝1.3得y＝0.75×1.3﹣0.9＝0.075， ∴客运公司每天平均利润为0.075万元； ∵0.040.075， ∴方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出相关的函数关系式． 22．（12分）在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（﹣1，0），C（5，﹣1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）； （2）P是x轴上的动点，当△A1B1P为等腰三角形时，求出P点坐标． 【答案】（1）见解析； （2）（﹣4，0）或（6，0）或（﹣7，0）或（，0）． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）分三种情形：当PB1＝A1B1时，当A1P＝A1B1时，当PA1＝PB1时，分别求解可得结论． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）∵A1B15， 当PB1＝A1B1时，P（﹣4，0）或（6，0）． 当A1P＝A1B1时，P（﹣7，0）． 当PA1＝PB1时，设P（m，0）， 则有（m+3）2+32＝（1﹣m）2， 解得m， ∴p（，0）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣4，0）或（6，0）或（﹣7，0）或（，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 23．（14分）直线l：y＝x+a（a＞0）分别交x、y轴于A、B两点，且点C坐标为（a，0）．点D、点E分别是线段AC、AB上的动点，CE与BD交于点P． （1）如图1，若CE交y轴于点G，BE＝BG，CB＝CD，求∠BPC的大小； （2）如图2，若AE+ADAB，BD+CE的最小值是5，求直线l的表达式； （3）如图3，当a＝6时，点D是CO中点，CE与BD的夹角是45°，求点E的坐标． 【答案】（1）90°； （2）直线l的表达式为y＝x+5； （3）E（﹣3，3）． 【分析】（1）由题易得OC＝a＝OA＝OB，所以∠BCO＝∠OBC＝45°，∠BAO＝∠OAB＝45°，再根据等腰三角形可知∠CBP＝∠BGP＝67.5°，再根据外角性质可得∠BCP＝22.5°，即可得解； （2）根据题意可得AE＝CD，由逆等线模型构造全等，过A作AF⊥x轴，且AF＝AB，连接EF，证△AEF≌△CDB（SAS），得到AE＝BD，从而BD+CE＝AE+BE≥CE，再利用勾股定理求出a值即可； （3）先求出BD解析式，利用平行线将∠BPD＝45°进行等角转化，过点C作CH∥BD交l于点H，所以∠BCE＝∠BPD＝45°，亦可得出直线CH的解析式，进而求出H的坐标，再利用45°构造等腰直角三角形，过H作HQ⊥CE于点Q，进而构造一线三垂直的全等，求出点Q坐标，然后求出直线CE的表达式，即可得解． 【解答】解：（1）∵y＝x+a（a＞0）分别交x、y轴于A、B两点， ∴令x＝0，得y＝a，即B（0，a）， 令y＝0，得x＝﹣a，即A（﹣a，0）， ∴OA＝OB＝a， ∵点C坐标为（a，0）， ∴OC＝a＝OA＝OB， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∠BAO＝∠OAB＝45°， ∵CB＝CD，BE＝BG， ∴∠CBP67.5°，∠BGP67.5°， ∵∠BGP＝∠OBC+∠BCP， ∴67.5°＝45°+∠BCP， ∴∠BCP＝22.5°， 在△BCP中，∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BPC＝90°； （2）由（1）可知∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝90°，OA＝OB＝OC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴ACAB， ∵AE+ADAB， ∴AE+AD＝AC＝CD+AD， ∴AE＝CD， 如图，过A作AF⊥x轴，且AF＝AB，连接EF， ∴∠FAE＝∠BCD＝90°﹣∠BAC， ∵AB＝BC， ∴AF＝BC， 在△AEF和△CDB中， ， ∴△AEF≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BD， ∴BD+CE＝AE+BE≥CE，当且仅当C、E、F三点共线时取等， ∴BD+CE的最小值为CF＝5， ∵OA＝OC＝a， ∴AF＝CBa，AC＝2a， ∴CF|a|＝5， ∵a＞0， ∴a＝5， ∴直线l的表达式为y＝x+5； （3）∵a＝6， ∴OC＝6， ∵D是OC中点， ∴OD＝3，D（3，0）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， 将B（0，6），D（3，0）代入得， ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6， 过点C作CH∥BD交l于点H， 设直线CH的解析式为y＝﹣2x+m， 将C（6，0）代入得，m＝12， ∴直线CH的解析式为y＝﹣2x+12， 令x+6＝﹣2x+12， 解得x＝2， ∴y＝8， ∴H（2，8）， 过H作HQ⊥CE于点Q， ∵CE与BD的夹角是45°， ∴∠BPD＝45°， ∴∠BCE＝∠BPD＝45°， ∴HQ＝CQ， 过Q作GK∥y轴交x轴于点K，过H作HG⊥GK于点G， ∴∠CQK＝∠GHQ＝90°﹣∠GQH， 在△CQK和△QHG中， ， ∴△CQK≌△QHG（AAS）， ∴CK＝GQ，KQ＝GH， 设Q（t，n）， ∵H（2，8），C（6，0）， ∴CK＝2﹣t，GQ＝8﹣n，KQ＝n，KC＝6﹣t， ∴， 解得， ∴Q（0，2）， 设直线CE解析式为y＝k1x+b1，将C（6，0），Q（0，2）代入得， ，解得， ∴直线CE解析式为yx+2， 再联立直线l和直线CE解析式得， ，解得， ∴E（﹣3，3）． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点问题、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$