精品解析：安徽省部分高中2025届高三下学期2月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题迭出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区玻内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，再求. 【详解】，则. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，， 所以. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的坐标的线性运算求，再根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角终边上的点确定对应正余弦值，再由二倍角正弦公式求值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：C 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，可得每段函数递减，且分界点也递减，列出不等式即可求解. 【详解】 因为函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：A 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值. 【详解】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故. 故选：B 7. 在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征及其外接球半径与两个底面对角线的关系列方程求球心到一个底面的距离，再求球体的半径，进而求体积. 【详解】由题设及下图，知， 若是在面上投影，易知在上，且面， 所以， 若外接球球心到面的距离为，球体半径为， 则，且，可得（负值舍）， 所以，故正四棱台的外接球的体积为. 故选：C 8. 已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题化为与在上有两个交点，利用导数研究的区间单调性及其值域，即可求参数范围. 【详解】由题设在上有两个实根， 即在上有两个实根， 所以与在上有两个交点， 由，令，则， 所以在上单调递减，，， 所以使，即，， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 根据解析式易知趋向0或时，均趋向于， 且， 综上，只需. 故选：D 【点睛】关键点点睛：问题化为与在上有两个交点是关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用条件概率公式、独立事件的判定及独立乘法公式判断A、B、D，由概率的性质判断C. 【详解】由，A对； 显然，即相互独立，易知也相互独立， 所以，B错； 由，C错； 由，D对. 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到点时，，直线与相交于两点，点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为8 C. 若，则过点 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义及已知得，即可判断A；作准线，由，数形结合判断B；求、与抛物线相交弦长，判断存在使，即可判断C；由抛物线的定义及圆的性质判断D. 【详解】由题设，可得，则，准线为，A对； 由，作准线，如下图示， 则，当且仅当共线且准线取等号，B对； 若，联立，则或， 不妨令，则； 若，联立，则或， 不妨令，则； 所以，对于直线，存在使，此时直线不过，C错； 若直线过焦点时，以为直径的圆的半径为， 而的中点，即圆心的横坐标为，易知以为直径的圆与轴相切，D对. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线与直线所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可判断A；利用线线角的向量求法可判断B；利用点到平面的距离的向量求法可判断C；利用直线与平面所成角的向量求法可判断D. 【详解】以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 对于A，， ， ， 则点到直线的距离为 ，故A错误； 对于B，， ， ， 因为直线与直线所成的角的范围在， 所以直线与直线所成的角的为，故B正确； 对于C，， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 可得， 所以点到平面的距离为， 故C正确； 对于D， 由选项C，直线与平面所成角的正弦值为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算求出原函数的导函数，应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，且，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可. 【详解】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案： 14. 已知分别为双曲线左、右焦点，为的左支上一点，直线与的右支交于点，且．若，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义有，令并结合余弦定理求得，再应用余弦定理求，即得，进而可得离心率. 【详解】由题设，令，则， 又，则，故， 在中，，，，， 所以，可得， 所以，，，则， 所以，而，故的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若为边上一点，且的面积为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求，即可得角的大小； （2）应用余弦定理求得，再应用面积公式有、，作商即可证结论. 【小问1详解】 由，则， 所以，，则. 【小问2详解】 由，可得（负值舍）， 则，而， 所以，即，得证. 16. 在边长为2的正方形中，将沿折起，使平面平面，如图所示，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形、面面垂直的性质有，结合，应用线面垂直的判定定理证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 由题设为等腰直角三角形，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，面， 所以面，面，则， 由分别是的中点，则，又，即， 由且都在面内，则平面. 【小问2详解】 由题设易知，且面，可构建如图示空间直角坐标系， 则， 所以，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 17. 动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设的距离关系列方程并整理得曲线方程； （2）①联立直线与曲线，根据求参数范围；②应用韦达定理求的中点的坐标，即可得定直线，证结论. 【小问1详解】 由题设，则，整理得； 【小问2详解】 ①联立与，整理得， 所以，则，所以； ②由①知，，则， 所以的中点为，显然点在定直线上，得证. 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 【答案】（1）当时, 有两个极值点,当时, 没有极值点. （2）,证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论函数极值点的个数,先对函数求导,根据导数的性质和判别式分析导数零点的情况,进而确定极值点的个数; （2）对于方程有两个不同实根求参数范围,通过对方程变形,构造新函数,利用单调性和极值确定参数范围; 证明,通过对已知条件进行变形,利用对数运算性质和构造函数进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为,求导得, 令,, 若,解得或, 当时,有两个根,, 由,,得函数有两个极值点; 当时,因为函数的定义域为,所以, 故在恒成立,所以函数在 上单调递增,没有极值点; 当时,,函数,即,所以函数在 上单调递增,没有极值点. 综上:当时, 有两个极值点, 当时, 没有极值点. 【小问2详解】 因为,所以方程, 令,求导得, 当时,,在上单调递增,最多一个零点,不符合题意; 当时,在上单调递增,在上单调递减, 所以函数时有极大值， 又因为当时,, 当时,, 所以要使方程有两个不同实根, 则,即,解得, 故的取值范围为: ; 由方程有两个不同实根, 得,, 所以, 由,得, , 令,则, 因为要证明,即要证明,也就是要证明, 即证明, 令,求导得, 所以在单调递增,所以,即, 整理得,即,所以. 19. 若数列满足：存在正常数，对恒成立，则称是“有上界数列”，称为数列的“上界”． （1）已知是数列的前项和，试判断是否是“有上界数列”？若是，请求出其“上界”的最小值；若不是，请说明理由； （2）已知是首项为1024，公比为的等比数列，记是的前项积，证明：是“有上界数列”； （3）设是公差为的等差数列，是首项为正数，公比为的等比数列，试求是“有上界数列”的充要条件． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）且. 【解析】 【分析】（1）利用分组求和及等比数列前n项和公式求，结合数列新定义判断即可； （2）写出等比数列的通项公式，进而得，结合数列新定义及二次函数、指数函数性质判断证明结论； （3）根据题设得，讨论、说明不满足新定义的理由，即可得存在正常数，的充要条件. 【小问1详解】 由题设， 当时，，，即， 所以不存在正常数，对恒成立； 【小问2详解】 由题设，则， 对于，有， 当或时，，而在定义域上单调递增，故， 所以存在正常数，对恒成立，得证； 【小问3详解】 由题设，，且，，， 所以， 若时，会随增大趋向于正无穷， 此时不存在正常数，对恒成立； 所以，则， 若时，会随增大趋向于正无穷或负无穷， 此时不存在正常数，对恒成立； 所以，则满足题设定义， 所以且为是“有上界数列”的必要条件， 当且时，则， 则对恒成立， 所以且为是“有上界数列”的充分条件， 综上，且为是“有上界数列”的充要条件. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意讨论得到，讨论得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题迭出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区玻内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 7. 在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线焦点为为其上一动点，当运动到点时，，直线与相交于两点，点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为8 C. 若，则过点 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线与直线所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________． 13. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则__________． 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为的左支上一点，直线与的右支交于点，且．若，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若为边上一点，且的面积为，证明：． 16. 在边长为2的正方形中，将沿折起，使平面平面，如图所示，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求方程； （2）已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数取值范围； ②证明：点在定直线上． 18. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 19. 若数列满足：存在正常数，对恒成立，则称是“有上界数列”，称为数列的“上界”． （1）已知是数列的前项和，试判断是否是“有上界数列”？若是，请求出其“上界”的最小值；若不是，请说明理由； （2）已知是首项为1024，公比为的等比数列，记是的前项积，证明：是“有上界数列”； （3）设是公差为的等差数列，是首项为正数，公比为的等比数列，试求是“有上界数列”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$