专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法（12大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 5 05 核心精讲·题型突破 12 题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 12 题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 17 题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 21 题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 26 题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 31 题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 36 题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 40 题型八：焦点到渐近线距离为b 44 题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 49 题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 53 题型十一：渐近线平行线与面积问题 56 重难点突破：数形结合转化长度角度 62 关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，其难度属于中等水平。 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 离心率 掌握求解，理解应用。 2024年甲卷第5题，5分 2024年I卷第12题，5分 2023年I卷第5、16题，10分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题是高考数学的必考内容，主要考查圆锥曲线的概念和几何性质。在二轮复习中，应掌握其基本性质和常规处理方法，特别是要从挖掘椭圆和双曲线的几何性质入手，以应对考试中的相关问题。 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 3．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以. 故选：A 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接， 则四边形为矩形， 则， 所以， 在中，由， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的左焦点为， 因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形， 所以， 在中，， 根据椭圆定义可知：， 所以， 所以，，所以， 所以离心率为 故选：B． 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示： 椭圆：，根据范围求解值域． 双曲线：，根据范围求解值域． 【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的左焦点为，设， 则根据题意得， 则双曲线的离心率为 ， 令， 易知在单调递增， 且， 则，即. 故选：C. 【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为，则， 因为双曲线左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以双曲线的离心率的范围为， 故选：D 1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，， 因为，则四边形为矩形， 所以， 则，． ． ． 即， 则， 因为，则， 可得，即， 所以， 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C． 题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点， 若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以， 故选：C． 【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（    ）个 A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个 【答案】B 【解析】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个； 当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个； 因为为短轴一端点，令，长度的最大值为， 椭圆， 所以说明椭圆与圆有且仅有下顶点这唯一交点， 设 ， 所以 ，即 所以 ， 因为， 所以带入中得： ， 因为 ， 所以， 所以， 所以， 因为， 当 带入得： 所以， 所以， 所以即 ， 当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点有2个， 当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点有0个， 所以使为直角三角形的点共有4个或6个， 故选：B. 是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）． 【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上， 由此可得该圆的半径，，即， ，. 故选：A. 【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法： ①当时，使为直角三角形的点有且只有4个； ②当时，使为直角三角形的点有且只有6个； ③当时，使为直角三角形的点有且只有8个； 以上说法中正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当时，使为直角三角形的点有且只有4个，分别为横坐标为的四个点； 当时，使为直角三角形的点有且只有6个，分别为横坐标为的四个点及短轴两个顶点； 当时，使为直角三角形的点有且只有8个，分别为横坐标为的四个点及为直角的四个点 1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点在第一象限，由题知， 解得，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 所以， 令，因为，所以， 则， 由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：C 【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设，设双曲线的实轴长为， 双曲线与椭圆在一象限的交点为， 设，则， 故， 由，得， 即； 动点在直线上运动，设l与x轴交点为E，设， 在中，， 在中，， 由题意知为锐角，且, 即， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为，而当与相等时，取得最大值， 可知，即，结合， 得，则， 故双曲线的离心率， 故选：C ，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围 【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 故焦点坐标为、， 则椭圆的离心率为， 由，，则， 过点作于点，由为中点， 故，， 由，故， 则，， 由双曲线定义可知，， 故，则离心率为， 故与的离心率之和为. 故选：B. 【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设P为第一象限的点， 在椭圆中： ① , 在双曲线中:   ②, 联立①②解得, , 在中由余弦定理得： 即 即 椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 故选：B 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的上顶点为M，且， 所以， 所以，所以， 设双曲线的方程为， 假设点在第一象限，则 ，得， 在中，由余弦定理得 ，即， 整理得， 所以，则， ，所以， 所以， 故选：D 题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： ，由双曲线的定义可得， 所以，，则， 由余弦定理可得， ， 因为， 故，整理可得，故该双曲线的离心率为. 故选：B. 【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点， 若， 由双曲线的定义，可得， ，则， 所以， 故为等边三角形，则， 在中，，，， 由余弦定理，可得 ， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 椭圆与双曲线的4a通径体 如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即 【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题，，又，，． ，直线MN过点， ，， ，． 在中， ． 设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为， 在中， ， ，，． ，，，， 椭圆C的方程为. 故选：B． 【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以可设，，， 因为，所以，解得， 因为，所以，，， 所以， 在中，，， 由，可得， 即椭圆的离心率为. 故选：B. 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过原点的直线交椭圆于，两点，被平分， 又被平分，四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形， ， 由对称性可得，设，， ，， ， ． 故选：B． 题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 【典例5-1】已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，设，，设，则， 在中，， 由椭圆定义可知，， ，解得， 所以，， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ， ，即0， 解得，所以椭圆离心率. 故选：D. 【典例5-2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 因为，则，， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 如左图，若，过原点，且，，则可得离心率． 如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率． 【变式5-1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，不妨令， 由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【变式5-2】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，再由 是等腰直角三角形 ，故选D, 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，， ∴，， ∵， 在中，由余弦定理， 得：， ∴， 化简可得，而， 故， ∴，，， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴椭圆的离心率. 故选：D. 题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 【典例6-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由椭圆定义知， 又，所以，再由椭圆定义， 因为，所以， 所以由余弦定理可得， 即， 化简可得，即， 解得或（舍去）. 故选：D 【典例6-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 同角余弦定理使用两次 【变式6-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，， 在和中利用余弦定理可得 即 化简可得 同除得：解得或（舍去） 故选： 【变式6-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设则，，由双曲线的定义可得，，在和中，利用余弦定理求出，进而求出双曲线的标准方程.如图，设则，， 由双曲线的定义可得， 在和中，由余弦定理得 又互补，， 两式消去，可得， 所以，， 所以双曲线的标准方程可得. 故选：B 1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 又，所以，从而，，， 中，， 中．， 所以，，所以， 故选：C． 题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 【典例7-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则． 因为，所以，即，则． 设．因为， 所以，则，从而，故，解得． 因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故． 故选：C 【典例7-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即， 故选：D． 当或者时，令,则一定存在①，② 【变式7-1】设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】如图，设为的中点，连接. 易知，所以，所以. 因为为的中点，所以. 设，因为，所以. 因为，所以. 所以. 因为是的中点，，所以. 在Rt中，； 在Rt中，. 所以，解得. 所以. 因为直线的斜率为， 所以，所以， ，所以离心率为. 故选：A 1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，如图： 设M，N的中点为P，连接 ，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有 ， ； 直线l的方程为 ，令 ， ，由双曲线的性质可得 ， 解得 ， 在 中， ，在 中， ， 解得 ，由于 ， ， 解得 ； 故选：D. 题型八：焦点到渐近线距离为b 【典例8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】连结，因为点分别为和的中点， 所以，且 设点到一条渐近线的距离，所以 ，又，所以， 中，满足， 整理为：， 双曲线的离心率. 故选：D 【典例8-2】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题，设原点为， 根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立）， 所以， 因为的最小值为，即， 所以，此时为渐近线的垂线， 因为双曲线的一条渐近线为, 所以在中，， 因为，所以，即， 所以，则. 故选：B 双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，. 【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，不妨设点在第三象限，则直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 记线段的中点为，则，且， 又因为为的中点，则为的中点，则， 因为，所以，， 由双曲线的定义可得， 由勾股定理可得，即，整理可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式8-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点， 所以为的中点， 将直线，的方程联立，可得， 又，所以即， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以该双曲线的离心率为， 故选：A. 1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点， 由题意可知，直线与直线垂直，，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：B. 题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 【典例9-1】已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设双曲线：的右焦点， 双曲线的一条渐近线方程设为， 可得，， 的面积为，即有， 化为，，解得. 故选：A. 【典例9-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示： 因为，，所以， 所以，， 又，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 利用几何法转化 【变式9-1】过双曲线的焦点作其渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，双曲线的渐近线，， 由，，可得， 由可知为线段的中点， 又可得直线为线段的垂直平分线， 由，即，可得， ，因此，双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式9-2】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞) 【答案】A 【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点， 不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为 与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即 故选：A 1．已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，，则， 因为，则， 设，则，所以，， ，， 由二倍角的正切公式可得，即，可得， 因此，. 故选：A. 题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 【典例10-1】设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意可得， 即有为等腰三角形， 设， 则， 所以 即为， 所以， 故选：A 【典例10-2】已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 由双曲线的定义可得：，， 因为点在以为直径的圆上，所以， 所以，即，解得：， 在中，，，， 由可得，即， 所以双曲线离心率为， 故选：C. 以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则， 【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】如图，点Q是以为直径的圆的弦中点，则，于是得， 因直线是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，因此有， 则有直线的斜率，离心率， 双曲线的离心率是2 故选：B 1．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接， 设， 则由题意可得是直角三角形， 由恰好为正三角形得，， ∴，∴， ， ． 故选：C． 题型十一：渐近线平行线与面积问题 【典例11-1】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】易知MN关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴．   ，，， ∴， ∴． 故选: C. 【典例11-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C ①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，， 【变式11-1】已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 . 【答案】或 【解析】由题意知，， 双曲线的渐近线方程为， 设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示， 直线的方程为， 将其与联立，解得，，即，， ， 点，到直线的距离为， 所围图形面积等于1， ，即， 化简得， 点，在双曲线上，，即， ， 又，，或，， 离心率或． 故答案为：或． 【变式11-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即点， 因为为等腰直角三角形，由对称性可知，、关于轴， 所以，，所以，， 所以，，可得，故， 故该双曲线的离心率为， 故选：D. 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的渐近线为,,,则直线方程为,联立直线方程可求出点,即可得到,再求得点到直线的距离,即可利用四边形的面积求出,再利用条件求出的取值范围即可.由题意可知,四边形为平行四边形, 不妨设双曲线的渐近线为,, 设点,则直线方程为, 且点到直线的距离. 联立,解得,∴, ∴, 设四边形的面积为,则, 又∵,∴, ∴,∴, ∴双曲线的标准方程为, ∴,,∴,, ∴, 又∵,∴,解得, 故选:D. 重难点突破：数形结合转化长度角度 【典例12-1】已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 . 【答案】 【解析】 因为，所以是的中点，又为的中点， 所以，因为，所以，所以， 设，则，，且在双曲线上， 则，即，又，即， 所以. 故答案为：. 【典例12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 【答案】/ 【解析】 依题意有 所以， 设又 所以、 在中， 所以， 故有：即 解得：即 在中，有 即， 所以 故答案为：. 数形结合 【变式12-1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 . 【答案】2 【解析】依题意，设双曲线的半焦距为，则， 因为是的中点，所以，故由得， 又因为，所以， 在中，， 在中，， 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为，则， 设，，， 所以， 故答案为：2 【变式12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的对称性得，由，得， 不妨设点在的右支上，且， 在中，由双曲线定义知， 由勾股定理得， 则， 且 又，，所以， 则在中，由，得， 化简得， 即，所以， 所以，化简得. 所以的离心率为. 故答案为：. 1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【解析】做出图像，如图所示，则， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 因为， 所以， 则，即， 所以，解得， 所以， 由可得，，则， 所以，整理得，解得， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 / 67 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 5 05 核心精讲·题型突破 6 题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 6 题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 7 题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 9 题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 10 题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 12 题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 13 题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 14 题型八：焦点到渐近线距离为b 16 题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 17 题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 18 题型十一：渐近线平行线与面积问题 20 重难点突破：数形结合转化长度角度 22 关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，其难度属于中等水平。 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 离心率 掌握求解，理解应用。 2024年甲卷第5题，5分 2024年I卷第12题，5分 2023年I卷第5、16题，10分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题是高考数学的必考内容，主要考查圆锥曲线的概念和几何性质。在二轮复习中，应掌握其基本性质和常规处理方法，特别是要从挖掘椭圆和双曲线的几何性质入手，以应对考试中的相关问题。 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 3．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示： 椭圆：，根据范围求解值域． 双曲线：，根据范围求解值域． 【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（   ） A． B． C． D． 1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点， 若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（    ）个 A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个 是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）． 【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法： ①当时，使为直角三角形的点有且只有4个； ②当时，使为直角三角形的点有且只有6个； ③当时，使为直角三角形的点有且只有8个； 以上说法中正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． ，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围 【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 椭圆与双曲线的4a通径体 如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即 【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 【典例5-1】已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 如左图，若，过原点，且，，则可得离心率． 如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率． 【变式5-1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【变式5-2】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 【典例6-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 同角余弦定理使用两次 【变式6-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 【典例7-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 当或者时，令,则一定存在①，② 【变式7-1】设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型八：焦点到渐近线距离为b 【典例8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （    ） A． B． C．2 D． 【典例8-2】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，. 【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 【典例9-1】已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【典例9-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（    ） A． B． C． D． 利用几何法转化 【变式9-1】过双曲线的焦点作其渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞) 1．已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 【典例10-1】设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【典例10-2】已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则， 【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 1．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十一：渐近线平行线与面积问题 【典例11-1】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【典例11-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 ①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，， 【变式11-1】已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 . 【变式11-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点突破：数形结合转化长度角度 【典例12-1】已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 . 【典例12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 数形结合 【变式12-1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 . 【变式12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ． 1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 22 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$