第1课 直线的相交-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1课 直线的相交 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解相交线和对顶角的概念. 2.理解对顶角相等. 3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算. 4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线. 5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直” 6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念. ( 知识精讲 ) 知识点01 相交线和对顶角的概念 1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点. 2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线. 知识点02 对顶角的性质 对顶角的性质：对顶角相等 知识点03 垂线及其性质 　1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足。 2.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ( 能力拓展 )考点01 相交线和对顶角的概念 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，逐一判断即可得出答案． 【解析】解：由对顶角的定义可得，C选项是一组对顶角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 【即学即练1】在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论． 【解析】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键． 考点02 对顶角的性质 【典例2】如图所示两条直线相交，若∠1+∠2＝260°，则∠3＝ 　50　度． 【思路点拨】根据对顶角相等得出∠1＝∠2，结合已知∠1+∠2＝260°，即可求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数． 【解析】解：∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2， ∵∠1+∠2＝260°， ∴∠1＝130°， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键． 【即学即练2】如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2﹣∠3等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．120° 【思路点拨】根据题意可得∠1＝∠3＝40°，∠1+∠2＝180°，由此即可求解． 【解析】解：∵∠1＝∠3＝40°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣40°＝140°， ∴∠2﹣∠3＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，掌握对顶角，邻补角的计算是解题的关键． 考点03 垂线及其性质 【典例3】1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝68°，则∠EOB的大小为（　　） A．32° B．58° C．45° D．22° 【思路点拨】根据OE⊥OC得到∠COE＝90°，再由平角∠AOB＝180°即可求解． 【解析】解：∵OE⊥OC， ∴∠COE＝90°， ∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∠AOC＝68°， ∴∠EOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°． 故选：D． 【点睛】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义是正确解答的关键． 2．如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路点拨】根据垂线段最短即可解答． 【解析】解：小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握垂线段的性质：垂线段最短． 【即学即练3】1．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m 【思路点拨】根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【解析】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴1.85m≤BC＜1.95m， ∵AB＞BC， ∴AB可能为1.95m， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O． （1）若∠1＝55°，则∠BOE＝　125　°； （2）若∠1与∠2的度数比为3：2，求∠BOC的度数． 【思路点拨】（1）利用平角定义进行计算，即可解答； （2）根据垂直定义可得∠COE＝90°，从而可得∠1+∠2＝90°，进而可得∠2＝36°，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）∵∠1＝55°， ∴∠BOE＝180°﹣∠1＝125°， 故答案为：125； （2）∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1与∠2的度数比为3：2， ∴∠2＝90°×＝36°， ∴∠BOC＝180°﹣∠2＝144°， ∴∠BOC的度数为144°． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【解析】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD的度数是（　　） A．55° B．66° C．77° D．88° 【思路点拨】由对顶角相等即可求解． 【解析】解：由题意可知，∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴∠BOD＝∠AOC＝66°， 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，掌握对顶角相等是解题关键． 3．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无数 【思路点拨】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可． 【解析】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握垂线的性质是解题关键． 4．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B．C． D． 【思路点拨】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得． 【解析】解：过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟记其做法是解题的关键． 5．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　） A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180° 【思路点拨】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【解析】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意； C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为90°． 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【思路点拨】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【解析】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键． 7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝（　　） A．130° B．150° C．120° D．140° 【思路点拨】根据邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解析】解：∵∠COE为直角，∠AOE＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°． 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键． 8．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O．若∠1＝35.8°，则∠2的大小是（　　） A．35°48' B．54°12' C．54°52' D．55°12' 【思路点拨】已知OE⊥AB，∠1＝35.8°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数． 【解析】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠1＝35.8°， ∴∠AOC＝90°﹣35.8°＝54.2°＝54°12'， ∴∠2＝∠AOC＝54°12'． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线、度分秒的换算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质是解决问题的关键． 9．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　） A．AB B．BD C．BC D．AD 【思路点拨】利用点到直线的距离的定义分析． 【解析】解：∵DB⊥AC， ∴线段BD的长能表示点B到AC的距离． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记“点到直线的距离即是点到直线的垂线段的长度”是解题的关键． 10．如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝　100°　． 【思路点拨】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可求出∠3的度数． 【解析】解：∵∠1＝32°，∠2＝48°， ∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°， ∴∠3＝∠4＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查了平角的定义，对顶角，根据平角的定义求出∠4的度数是解题的关键． 11．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　垂线段最短　． 【思路点拨】根据垂线段最短求解即可． 【解析】解：∵PB⊥MN， ∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键． 12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数． 【思路点拨】设∠COB＝x°，则∠AOC＝（x﹣40）°，然后根据∠AOC和∠BOC互补即可列方程求得∠COB，进而求解∠AOC的度数，再根据对顶角相等求得∠BOD的度数，最后依据角平分线的定义求解． 【解析】解：设∠COB＝xo，则∠AOC＝（x﹣40）°． 根据题意得：x+（x﹣40）＝180， 解得：x＝110． 则∠AOC＝110°﹣40°＝70°．∠BOD＝∠AOC＝70°． ∵OE平分∠BOD， ∴ 【点睛】本题考查了对顶角以及角的平分线的定义，利用邻补角的概念计算∠AOC的度数是关键． 13．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC； （2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离． 【思路点拨】（1）按要求作出相应的图形即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【解析】解：如图， （2）△ABC的面积为6，AC＝3， ∴B点到射线AC的距离为：6×2÷3＝4． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 【思路点拨】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD； （2）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°． 【解析】解：（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD． （2）由（1）知∠1+∠AOC＝90°， 因为∠AOC＝2∠1， 所以∠1+2∠1＝90°， 解得∠1＝30°， 所以∠AOC＝60°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°． 【点睛】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 题组B 能力提升练 15．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】分别根据对顶角性质，垂线段最短，线段中点的定义判断即可． 【解析】解：①两直线相交，对顶角相等，正确； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； ④如果M在线段AB上，并且MA＝MB，那么点M是线段AB的中点，故错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，垂线段最短，线段中点的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键． 16．噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　B　（填B或C）点受到的危害较小． 【思路点拨】根据两点间的距离即可得到结论． 【解析】解：由图象得，AB＞AC， ∴人站在B点受到的危害较小． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，两点间的距离，正确地识别图形是解题的关键． 17．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数． 【思路点拨】先由对顶角相等得到∠COD＝∠MON＝70°，设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∠BOD＝3x﹣70°，再由∠AOD＝2∠BOD得到x+70°＝2（3x﹣70°），解方程求出BOC＝126°，则∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°． 【解析】解：∵∠MON＝70°， ∴∠COD＝∠MON＝70°， 设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°， ∴∠BOD＝3x﹣70°， ∵∠AOD＝2∠BOD， ∴x+70°＝2（3x﹣70°）， 解得x＝42°， ∴BOC＝126°， ∴∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°． 【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补． 18．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　4　cm；点A到BC的距离是 　3　cm； （2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长； （3）AC 　＞　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　垂线段最短　． 【思路点拨】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出CD的长即可； （3）利用垂线段最短求解． 【解析】解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm． 故答案为4，3； （2）如图，CD为所作； ∵， ∴BC⋅AC＝AB⋅CD， ∴4×3＝5CD， ∴； （3）AC＞CD． 理由是垂线段最短； 故答案为：＞，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，画三角形的高．也考查了垂线段最短． 题组C 培优拔尖练 19．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　） A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D． 【思路点拨】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点个数，找出规律即可解答． 【解析】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有1+2个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有1+2+3个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有1+2+3+4个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有1+2+3+4+5个交点，最少有1个交点； … n条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而b＝1， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点． 20．已知：在同一平面内，线段AB的长为6，点A、B到直线l的距离分别为2和3，则符合条件的直线l共有 　4　条． 【思路点拨】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．画出图形进行判断． 【解析】解：在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；与线段AB相交，有两条线段符合条件，所以符合条件的直线l有4条． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数． 21．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O． （1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　120　°； （2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　150　°； （3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　∠AOD﹣∠COE＝90°　，并证明关系式成立． 【思路点拨】（1）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案； （2）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案； （3）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝90°﹣∠COE，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出∠AOD和∠COE的关系． 【解析】解：（1）∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∵∠COE＝30°， ∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°， ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°； 故答案为：120°． （2）∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∵∠COE＝60°， ∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°， ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°； 故答案为：150°． （3）∠AOD和∠COE的关系是∠AOD﹣∠COE＝90°，证明如下： ∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠COE， ∵直线AB、CD相交于点O， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣∠COE）＝90°+∠COE， ∴∠AOD﹣∠EOA＝90°． 故答案为：∠AOD﹣∠COE＝90°． 【点睛】此题主要考查了垂线，邻补角的定义，准确识图，熟练掌握垂线的定义，邻补角的定义是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 直线的相交 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解相交线和对顶角的概念. 2.理解对顶角相等. 3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算. 4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线. 5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直” 6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念. ( 知识精讲 ) 知识点01 相交线和对顶角的概念 1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点. 2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线. 知识点02 对顶角的性质 对顶角的性质：对顶角相等 知识点03 垂线及其性质 　1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足。 2.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ( 能力拓展 )考点01 相交线和对顶角的概念 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 考点02 对顶角的性质 【典例2】如图所示两条直线相交，若∠1+∠2＝260°，则∠3＝ 　 　度． 【即学即练2】如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2﹣∠3等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．120° 考点03 垂线及其性质 【典例3】1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝68°，则∠EOB的大小为（　　） A．32° B．58° C．45° D．22° 2．如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【即学即练3】1．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O． （1）若∠1＝55°，则∠BOE＝　 　°； （2）若∠1与∠2的度数比为3：2，求∠BOC的度数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD的度数是（　　） A．55° B．66° C．77° D．88° 3．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无数 4．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B．C． D． 5．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　） A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180° 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝（　　） A．130° B．150° C．120° D．140° 8．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O．若∠1＝35.8°，则∠2的大小是（　　） A．35°48' B．54°12' C．54°52' D．55°12' 9．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　） A．AB B．BD C．BC D．AD 10．如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝　 　． 11．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　 　． 12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数． 13．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC； （2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 题组B 能力提升练 15．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　 　（填B或C）点受到的危害较小． 17．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数． 18．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　　cm；点A到BC的距离是 　 　cm； （2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长； （3）AC 　 　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　 　． 题组C 培优拔尖练 19．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　） A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D． 20．已知：在同一平面内，线段AB的长为6，点A、B到直线l的距离分别为2和3，则符合条件的直线l共有 　4　条． 21．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O． （1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　 　°； （2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　 　°； （3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　 　，并证明关系式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$