第08讲 相交线与平行线40道压轴题型专项训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第08讲 相交线与平行线40道压轴题型专项训练（8大题型） 【题型目录】压轴题型一 相交线压轴题 压轴题型二 平行线的判定压轴题 压轴题型三 平行线的性质压轴题 压轴题型四 利用平行线的性质探究角的关系 压轴题型五 平行线中动点问题 压轴题型六 平行线中的翻折问题 压轴题型七 平行模型 压轴题型八 利用平移的性质解决问题 【压轴题型一 相交线压轴题】 1．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 2．平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则 ， ． 3．如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 4．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 5．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【压轴题型二 平行线的判定压轴题】 6．上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 7．如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 9．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 10．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【压轴题型三 平行线的性质压轴题】11．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    12．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 13．如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）． (1)如图1，若EG平分∠BEF，试判断EM与EG的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β． ① 当点G在点F的右侧时，若β=60°，求α的度数； ② 在点G运动的过程中，α和β之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由． 14．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使顶点C落在的边上，．经过点D画直线，交边于点M． (1)如图1，若． ①求 的度数； ②试说明：平分 ； (2)如图2，平分，交边于点F，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 15．下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系． 【压轴题型四 利用平行线的性质探究角的关系】 16．直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示) 17．已知直线，直线，分别与，交于点，和，，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在，两点之间运动时，试确定，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在，两点外侧运动时，试探究，，之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明． 18．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 19．如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． (1)若点在图（1）位置时，求证：； (2)若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； (3)若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 20．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下： 过点P作． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 【问题解决】 (1)如图②，，点P在与之间，可得间的等量关系是 ；（只写结论） (2)如图③，，点P，E在与之间，，，写出与间的等量关系，并写出理由； (3)如图③，，点P，E在与之间，若， ，可得与间的等量关系是 ；（只写结论） (4)如图④，，点P，E在与之间，，．可得与间的等量关系是 ．（只写结论） 【压轴题型五 平行线中动点问题】21．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由． (3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围． 22．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点C，D． (1)①当时，的度数是________； ②∵，∴________； (2)时，的度数=________（用含x的代数式表示）； (3)当点P运动时，与的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值，若变化，请写出变化规律； (4)当点P运动到使，且时，求的度数． 23．如图1，已知直线，点C为，内部的一个动点，连接，，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点A，和交于点F． (1)，猜想和的位置关系，并证明； (2)如图2，在（1）的基础上连接，则在点C的运动过程中，当满足且时，求的度数． 24．如图，直线，点A为l1线上的一个定点，点B为直线、之间的定点，点C为直线上的动点．    (1)当点C运动到图1所示位置时，求证：； (2)点D在直线上，且，平分． ①如图2，若点D在的延长线上，，求的度数； ②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角） 25．如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 【压轴题型六 平行线中的翻折问题】 26．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 27．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 28．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 29．综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 30．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【压轴题型七 平行模型】 31．【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 32．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 33．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 34．已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 35．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【压轴题型八 利用平移的性质解决问题】 36．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 37．如图，直线//，一副直角三角板，中，，，，． (1)若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 38．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 39．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 40．动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相交线与平行线40道压轴题型专项训练（8大题型） 【题型目录】 压轴题型一 相交线压轴题 压轴题型二 平行线的判定压轴题 压轴题型三 平行线的性质压轴题 压轴题型四 利用平行线的性质探究角的关系 压轴题型五 平行线中动点问题 压轴题型六 平行线中的翻折问题 压轴题型七 平行模型 压轴题型八 利用平移的性质解决问题 【压轴题型一 相交线压轴题】 1．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 2．平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则 ， ． 【答案】 1. . 【分析】条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出， 的解. 【详解】解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁， 当2条直线相交时，交点数只有一个； 当3条直线相交时，交点数为两条时的数量第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是； 同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是，即 ， ， ， 本题的答案为：1，. 【点睛】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用. 3．如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】(1) (2)或 (3)秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 4．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 5．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)2 (2)，详见解析 (3)或，详见解析 【分析】（1）由题意得出，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果； （2）设，由角平分线定义和已知得出，，即可得出结果； （3）分别用x表示出，列方程求出x，再分别讨论的位置即可得解． 【详解】（1）；理由如下： ∵． ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵为的角平分线，平分， ∴设， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 当在左侧时，， ， 当在右侧时，． 【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程等知识点；熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． 【压轴题型二 平行线的判定压轴题】 6．上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 【答案】(1)错误 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能正确判断内错角是解决本题的关键． （1）根据与不是内错角，故不能证明，即可得到答案； （2）先根据同角的补角相等得到，由角平分线定义得到．，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：小金的思路不对，与不是内错角，故不能证明； 故答案为：错误； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 7．如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 10．如图，已知，，平分． (1)求证：； (2)若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒． ①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②60或 【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证； （2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论； ②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：t的值为60或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解． 【压轴题型三 平行线的性质压轴题】 11．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又因为， 所以；    （2）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①的度数为；    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②，    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 12．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，即可； （2）根据平行公理，平行线的性质，即可； （3）延长，交于点，根据平行线的性质，得，，，根据等量代换，得，再根据平角等于，等量代换，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质． 13．如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）． (1)如图1，若EG平分∠BEF，试判断EM与EG的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β． ① 当点G在点F的右侧时，若β=60°，求α的度数； ② 在点G运动的过程中，α和β之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)EM与EG垂直，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义求得； （2）由（1）先求得，进一步可求得． 【详解】（1）解：分别是的角平分线 ∴ EM与EG垂直． （2）解：①， ， 由（1）知：， ， ②理由如下： 由①知，， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，互余的概念，平行线的性质，解题的关键是要善于把握问题之间的联系，从而获得思路． 14．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使顶点C落在的边上，．经过点D画直线，交边于点M． (1)如图1，若． ①求 的度数； ②试说明：平分 ； (2)如图2，平分，交边于点F，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②见详解 (2)；理由见详解 【分析】（1）①根据，可得，再根据，即可得出结论；②计算出角度即可； （2）设，根据平行线的性质和角平分线定义把，表示出来即可； 【详解】（1）①∵， ∴°， ∵， ∴， ②∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴平分． （2）设如图 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 15．下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系． 【答案】(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析； (2)α+β=105°或α-β=15° 【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可； ②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可； （2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：①如图1：标出∠3和∠4 由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4 ∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20° ∴∠1+∠2=60° ∴∠2=60°-20°=40° 故答案为：40； ②∠1+∠2=60°，证明如下： 证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4 ∵∠3+∠4=∠AOB=60° ∴∠1+∠2=60°． （2）解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为 当射线OC在∠AOB的内部，如图： 在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2 由格线平行可得∠2=，∠1+∠2= ∵∠AOB=60°，∠COB=45° ∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+= ∴=15°+ 即 当射线OC在∠AOB的外部，如图： ∵∠COB=45°，∠AOB=60° ∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105° 由（1）中②知，∠AOC=α+β ∴α+β=105° 综上所述：α+β=105°或α-β=15°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况． 【压轴题型四 利用平行线的性质探究角的关系】 16．直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示) 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解； （2）先证明，继而得到，再利用（1）的方法得到，从而得到，从而得解； （3），，从而得到，又证明，从而得到，利用（1）得方法得到，继而得解． 【详解】（1），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得， ∴， ∴； （3）∵平分，平分 ∴，， 设，，则，， ∴ ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行公理的推论，利用平行线的性质求角度，角平分线的相关计算等知识，理解和运用（1）中结论并结合角平分线探究角的关系是解题的关键． 17．已知直线，直线，分别与，交于点，和，，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在，两点之间运动时，试确定，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在，两点外侧运动时，试探究，，之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】（）首先过点作，交于点，由直线，可得，然后由两直线平行，同位角相等，求得答案； （）分两种情况：当点在的延长线上运动时（如图，；当点在的延长线上运动时（如图，；进行解答即可求解； 此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点作，交于点， 则，， ∵， ， ，， ， 即； （2）解：有两种情况： 当点在的延长线上运动时（如图，． 证明：过点作， ∵， ∴， ，， ， ； 当点在的延长线上运动时（如图，． ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 18．已知，，点E为射线上一点．    (1)如图1，若，，则　　． (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，当点E在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得； （2）过过作，根据平行线的性质得到，，即； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求． 【详解】（1）解：过作，   ， ， ，， ． （2）解：． 理由如下： 过作，   ， ， ，， ，， ． （3）解：， 设，则， ，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即，解得， ， ． 19．如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． (1)若点在图（1）位置时，求证：； (2)若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； (3)若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键； （1）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系； （2）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系； （3）过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【详解】（1）证明：过作， ， ， 由两直线平行，内错角相等，可得： 、； ， ． （2）解：关系：； 过作直线， ， ， 则：、； ， ． （3）关系：． 过作， ， ， 同（1）可证得：； ，， ， 即． 20．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下： 过点P作． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 【问题解决】 (1)如图②，，点P在与之间，可得间的等量关系是 ；（只写结论） (2)如图③，，点P，E在与之间，，，写出与间的等量关系，并写出理由； (3)如图③，，点P，E在与之间，若， ，可得与间的等量关系是 ；（只写结论） (4)如图④，，点P，E在与之间，，．可得与间的等量关系是 ．（只写结论） 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点P作，因为，所以，所以，，进而可得； （2）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，结合，，可得与间的等量关系； （3）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，结合， 可得与间的等量关系； （4）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，，，因为，结合，可得与间的等量关系． 【详解】（1）过点P作， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）过点P作，过E作， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3） 过点P作，过E作， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （4）过点P作，过E作， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 【压轴题型五 平行线中动点问题】 21．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由． (3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点O作，易得,利用平行线的性质可求解； （2）延长交于,由于平分，所以，根据此条件表示与，可求出两角的关系； （3）过点作，设，，借助，求出，之间的关系，利用已知条件，求出的范围． 【详解】（1）解：证明：过点O作，    ∵， ∴, ∴,, 又∵，, ∴,, ∴． （2）解：与相等，理由如下： 延长交于，如下图所示：    ∵，∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴在四边形中，， ∵平分，∴, ∴． （3）解：设，由于，则， ∴， 设，由于，则， 过点作，如下图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵，则，解得， ∵， ∴， 综上，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理清各个角之间的关系是解体的关键． 22．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点C，D． (1)①当时，的度数是________； ②∵，∴________； (2)时，的度数=________（用含x的代数式表示）； (3)当点P运动时，与的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值，若变化，请写出变化规律； (4)当点P运动到使，且时，求的度数． 【答案】(1)①；②CBN (2) (3)不变， (4) 【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补，即可解答；②根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）根据，，得出，根据，分别平分和，得出，则即可求解； （3）根据，得出，，根据平分，得出，则； （4）根据，得出，进而推出，根据，分别平分，，推出，则，即可进行解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：不变，． ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23．如图1，已知直线，点C为，内部的一个动点，连接，，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点A，和交于点F． (1)，猜想和的位置关系，并证明； (2)如图2，在（1）的基础上连接，则在点C的运动过程中，当满足且时，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，根据，得出，根据平行线的判定得出即可； （2）设，则，根据角平分线的定义和平行线的性质，用x表示出，，，根据，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵的平分线交直线于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵的平分线交直线于点E， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行内错角相等；同旁内角互补两直线平行． 24．如图，直线，点A为l1线上的一个定点，点B为直线、之间的定点，点C为直线上的动点．    (1)当点C运动到图1所示位置时，求证：； (2)点D在直线上，且，平分． ①如图2，若点D在的延长线上，，求的度数； ②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角） 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）过点B向右作，则，证明，可得，从而可得结论； （2）①证明，可得，结合，可得，可得，从而可得答案；②如图，证明，结合，可得，由（1）得，从而可得答案. 【详解】（1）证明：过点B向右作，如图， 则，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）①∵平分，点D在的延长线上， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②．理由如下：如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 由（1）得， ∴ ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 25．如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】（1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （3）过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； （3）点在第③部分时，过点向右作，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 【压轴题型六 平行线中的翻折问题】 26．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 27．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 28．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据（1）的结论可得，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 29．综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出； （3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∵ ， ， （2） 理由如下: 如图所示, 过点作, ， 即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直． ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 故答案为：． 30．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 【压轴题型七 平行模型】 31．【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，证明，则，．即可得到结论； （2）由邻补角、三角形内角和定理和（1）中的结论求出，即可证明； （3）利用平行线的性质和（2）中的条件列方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ． ，． ． 即； （2）证明：在三角形中， ， ， ． ∵， ． ∴； （3）解：平分，， ． 设， ． 在（2）的条件下， ． 在（2）的条件下，， ， 解得：， ． 设， 平分， ． ， ． ． ， 在（2）的条件下，， 同理可得：． 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 32．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过G作，根据平行线的性质求解即可； （2）过G作，过P作，首先得到，，设，，然后根据平行线的性质求解即可； （3）过E作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过G作 ∴ ∵ ∴     ∴ ∴     即 ∵ ∴； （2）解：如图，过G作，过P作 ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴     ∴ ∵ ∴ （3）解：如图，过E作，过G作． ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴     ∵ ∴ 解得 ∴ 33．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 34．已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 35．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明； （2）过点作，同（1）可证明； （3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到． 【详解】（1）证明：如图，过点作（作图） （两直线平行，内错角相等） ，， （平行同一直线的两条直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 即：． 故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 解：（2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； 解：（3）． 如图，过点作， 由（1）知， ∵， ∴，即， ，， ， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 整理得． 【压轴题型八 利用平移的性质解决问题】 36．如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； (1)填空： °； (2)若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 37．如图，直线//，一副直角三角板，中，，，，． (1)若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2)∠PDE的度数为15° (3)∠GHF＝67.5° (4)ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案； （3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°， ∵ED平分∠PEF， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，                      ∵PQMN， ∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°， ∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，                       ∴∠MFD＝∠DFE， ∴FD平分∠EFM； （2）解：如图2，过点E作EKMN， ∵∠BAC＝45°， ∴∠KEA＝∠BAC＝45°，                                         ∵PQMN，EKMN， ∴PQEK， ∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，                               又∵∠DEF＝60°． ∴∠PDE＝60°−45°＝15°，                                        故答案为：15°； （3）解：如图3，分别过点F、H作FLMN，HRPQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，                         ∵FLMN，HRPQ，PQMN， ∴FLPQHR，                                                ∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H， ∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，                     ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°， ∴∠HFA＝∠GFA＝75°， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，                ∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°， ∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，           ∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°； （4）解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°， 分三种情况： ①当BCDE时，如图5，此时ACDF， ∴∠CAE＝∠DFE＝30°， ∴1.5t＝30， 解得：t＝20；                                                  ②当BCEF时，如图6， ∵BCEF， ∴∠BAE＝∠B＝45°， ∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°， ∴1.5t＝90， 解得：t＝60；                                             ③当BCDF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R， ∵PQMN，∠PDE＝15°，∠EDF＝90°， ∴∠DRM＋（∠PDE＋∠EDF）＝180° ∴∠DRM＝75°， ∵BCDF， ∴∠BKA＝∠DRM＝75°， ∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°， ∴∠CAK＝90°−∠BKA＝90°−75°＝15°， ∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°， ∴1.5t＝120， 解得：t＝80．                                                 综上所述：ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与DEF的一条边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 38．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【答案】(1) (2)①详见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【详解】（1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ②， ， ， ， ． 39．已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)在整个平移过程中，当时，求的度数； (3)在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)当平移到点A上方时，；当平移到点A和C之间时，；当平移到点C下方时， 【分析】本题考查平行线的性质，平移的性质 （1）作，由平移得，可得，由，即可求得； （2）当平移到点A和C之间时，当平移到点A上方时，两种情况进行讨论即可； （3）由（1）（2）可以得到当平移到点A上方时，当平移到点A和C之间时，当平移到点C下方时，三种情况进行讨论. 【详解】（1）解：如图，作，由平移得， ∴ ∴ 又∵ ∴，即， ∴                  ∴ （2）由（1）可知，当平移到点C下方时，，不存在； ①当平移到点A和C之间时，     如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴     又∵ ∴ ∴      ∴x=，=       ②当平移到点A上方时， 如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，∠E的度数为 （3）解：由（2）得： 当平移到点A上方时，；    当平移到点A和C之间时，； 由（1）得：当平移到点C下方时， 40．动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 【答案】（1）①；②（2）③见解析，④（3）平方米 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可； （2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①根据平移性质，线段平移的距离是； ②根据图形，四边形的面积为：； 故答案为：①；②； （2）解：③如图所示，即为所求作； ④由图形知， ∴多边形的面积为： ， 故答案为：； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为b米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$