第07讲 平行线五大基本模型必考题汇总（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第07讲 平行线五大基本模型必考题汇总（5大题型） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【必考题型一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 1．铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 2．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 3．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    4．已知，点P在与之间． (1)模型：如图1，求证：； (2)运用：如图2，点N在上，点M在直线上方，探究四个角之间的关系； (3)拓展：如图3，若，平分，点M在的角平分线上，且，试求与之间的关系，画图说明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当点M在点B下方时，；当点M在点B上方时 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点P作，则，由平行线的性质得到，由此即可得到； （2）设交于G，由（1）的结论可知，先推出，再由平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，即可得到； （3）分点M在点B下方和点M在点B上方两种情况，分别画出对应的图形进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于G， 由（1）的结论可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点M在点B下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论可知， ∴； 如图所示，当点M在点B上方时，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，当点M在点B下方时，；当点M在点B上方时． 5．【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【必考题型二 平行线四大模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 6．综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【答案】（）；两直线平行，同旁内角互补；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）根据平行公理求出，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出 ，，再根据角的和差求解即可； （）根据平行公理求出，根据“两直线平行， 内错角相等”求出，，再根据角的和差求解即可； （）结合（）结论及角平分线定义求解即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式性质）， ∴， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； （）如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （），理由如下： 由（）得，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 7．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 8．【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用平行线的性质即可得证； （2）由（1）得到，再结合邻补角的定义即可得到结论； （3）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． （4）设，，得，，继而得到，，由（1）知： ，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由：由（1）知：， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （3）与的数量关系：． 证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即； （4）解：设，， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角相等，角的和差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用（1）中的结论解决问题． 9．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 10．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 【必考题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型】 11、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 12、【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 13、（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 14、如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【必考题型四 平行线四大模型之“骨折”模型】 15、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 16、已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 17、如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 18、已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 【必考题型五 平行线基本模型的拓展】 19．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 20．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 21．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 22．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 23．已知，E、F分别是直线和上的点，，G、H在两条直线之间，且． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，将一角如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，若，，判断，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（n为大于1的整数）如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，连接，若，则 ． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和角度和差倍积关系． （1）作直线交直线于点M，交直线于点Q，则，那么，； （2）延长交直线于点M，则，设，则，，，即有，故； （3）作，则，，即，且，即，进一步得，那么，，则有． 【详解】（1）解：作直线交直线于点M，交直线于点Q，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 延长交直线于点M，如图2， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即； （3）解：作，如图3， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 1．如图，已知：，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过点E作直线，使得，利用平行线的性质即可得证． 【详解】解：如图，过点E作直线，使得， 因为， 所以． 因为，所以， 所以． 因为， 所以， 故． 2．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 3．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ∴， ∴，， ， ∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 4．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 5．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 6．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过点作，根据平行线的性质得，再由垂直的定义得答案； （2）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得，便可求得结果； （3）过作，过作，设，，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出，，由，便可求得结果． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图2，过作，过作， ， ， ，，，， 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图3，过作，过作， 设，， 平分， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， 则， 平分， ， ， ， 又， 则， ，，且， ， ， ， ， ． 7．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 8．如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案； （2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案； （3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 9．在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，特殊三角形的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）利用角之间的和差关系求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）猜想：． 理由：如图③中， 由（2）可知，， ， ， ， ． 10．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 11．直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 12．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 13．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）过点E作直线利用平行线的性质即可解决问题． （3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，过点E作直线． ， ， 又， ． ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点E作直线． ， ， 又， , , ． （3）解：平分， ， 平分， 设， 由（1），得， 由（2），得， 又， ， ， 即． ． 14．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 15．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 2 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行线五大基本模型必考题汇总（5大题型） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【必考题型一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 1．铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 2．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 3．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 4．已知，点P在与之间． (1)模型：如图1，求证：； (2)运用：如图2，点N在上，点M在直线上方，探究四个角之间的关系； (3)拓展：如图3，若，平分，点M在的角平分线上，且，试求与之间的关系，画图说明． 5．【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【必考题型二 平行线四大模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 6．综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 7．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 8．【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 9．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 10．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【必考题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型】 11、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12、【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 13、（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    14、如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【必考题型四 平行线四大模型之“骨折”模型】 15、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 16、已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 17、如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 18、已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【必考题型五 平行线基本模型的拓展】 19．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 20．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 21．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 22．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 23．已知，E、F分别是直线和上的点，，G、H在两条直线之间，且． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，将一角如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，若，，判断，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（n为大于1的整数）如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，连接，若，则 ． 1．如图，已知：，试说明：． 2．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 3．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 4．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 5．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 6．已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 7．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 8．如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 9．在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 10．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 11．直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 12．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 13．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 14．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 15．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$