第06讲 图形的平移（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第06讲 图形的平移 （2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①图形的平移性质； ②利用平移解决实际问题； ③平移作图； 1.掌握图形的平移性质； 2.利用平移解决实际问题； 3.掌握平移作图； 知识点1：平行线之间的距离 平行线间距离处处相等。 知识点2：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即学即练1】 1．如图，经过水平向右平移后得到，若，，则平移距离是（    ）    A． B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据平移得到，结合，即可得到，即可得到答案； 【详解】解：∵经过水平向右平移后得到， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移及线段加减得到． 【即学即练2】 2．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积为： ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键． 【即学即练3】 3．如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解： ∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【即学即练4】 4．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干长为，则树的高度长为(　　)．    A．19 B．17 C．15 D．11 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 由题意得：，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 题型01 生活中的平移现象 1．下列不属于平移现象的是（    ） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．根据平移的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、传送带上物品传输，属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、电风扇扇叶转动，不属于平移． 故选：D． 2．下列四幅图中，能通过平移原图得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．据此进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有选项B符合要求， 故选：B． 3．中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 4．“神舟七号”飞船升向天空时，属于 现象，当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于 现象．（填“旋转”或“平移” 【答案】 平移 旋转 【分析】本题主要考查生活中的平移现象．根据平移和旋转的定义即可作答． 【详解】解：“神舟七号”飞船升向天空时，属于平移现象， 当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于旋转现象． 故答案为：平移；旋转． 5．如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平移重合图形的识别，正确理解平移重合图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，只有平行四边形是平移重合图形， 故答案为：②． 题型02 图形的平移 6．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 7．如图是由六个相同的等边三角形组成的图形，则可由平移得到的三角形（除外）有（    ） ‍ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是要准确把握平移的性质，平移变换不改变图形的形状、大小和方向．根据平移的性质，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，结合题意即可得到答案． 【详解】解：沿方向平移得到，沿方向平移平移得到． 故选C． 8．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（   ） A．形状相同，大小不一样 B．大小相同，形状不同 C．形状和大小完全相同 D．形状和大小完全不相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状和大小完全相同，进行判断即可． 【详解】解：由题意，平移前后图形的形状和大小完全相同， 故选C． 9．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，根据点的平移方式即可得答案．解决本题的关键是观察发现各对应点之间的转换关系． 【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到， ∴将向右平移格，再向上平移格得到． 故答案为：， 10．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵是梯形高 ． 故答案为：． 题型03 利用平移的性质求长度 11．如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了图形平移，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移可得，由此即可求解． 【详解】解：将沿方向平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选：B ． 12．如图，三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，连接，若四边形的周长是13，则三角形的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，结合三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，得，，因为四边形的周长是13，则，即可作答． 【详解】解：∵三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形， ∴，， ∵四边形的周长是13， ∴， 则， ∴， 即三角形的周长是9， 故选：D． 13．如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 【答案】 4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的方向和距离确定平移的结果即可． 【详解】解∶ 线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿方向平移了． 故答案为；4． 14．如图，将平移至处，点、、、在同一条直线上，若，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，由题意得推出即可求解 【详解】解：根据平移的性质，得， ， ． 15．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 题型04 利用平移的性质求角度 16．如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 17．如图，将沿方向平移到的位置．若，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质求出，再利用平角的性质解决问题即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ， ， 故选：C． 18．如图，将三角形纸板沿直线平移，使点A移到点B，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质得出，由平行线的性质得，即可求解；掌握平移的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿直线向右平移后到达的位置， ， ， ， ． 故答案为：． 19．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 /30度 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答即可． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ∵，，， ∴，，， 故答案为：、、；；；． 20．如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 题型05 利用平移的性质求阴影部分的面积 21．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．根据平移的性质可得，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向向上平移得到三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 22．如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．30 B．26 C．32 D．42 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移的性质，根据平移的性质可得四边形是梯形，，可求出，根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据平移可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B ． 23．如图，三角形的边长为，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，解题关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由平移可知，，阴影部分的面积长方形的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 阴影部分的面积， ， 长方形的面积， 阴影部分的面积是， 故答案为：2． 24．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为6，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：6． 25．如图，将沿方向平移得到，已知，，，求阴影部分的面积． 【答案】39 【分析】本题考查平移性质，得到是解答的关键．先根据平移性质得到，，再推导出，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵沿方向平移得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 题型06 利用平移解决实际问题 26．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 27．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： =， 绿化区的面积是， 故选：B． 28．小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 【答案】9 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米， ∴地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）． 故答案为：9． 29．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，两个图形的面积都可以看做是一个长为，宽为的长减去马路的宽的长方形面积，据此可得答案． 【详解】解：设马路的宽为x， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 30．综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 题型07 平移作图 31．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）根据两点之间，线段最短作图； （4）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，即为所求： （2）解：如图，取格点，连接交线段于点，即为所求： （3）解：连接，相交于点P，则点P即为所求： （4）解：如图： ， 故答案为：5． 32．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到， （2）连结，由图可得平行且相等． 【详解】（1）解：由题可得： 就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，如下图所示： 由图可得：线段和线段为平行且相等． 33．三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置 【分析】本题考查了作图——平移变换．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点，、，依次连接即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出，、的对应点，、，依次连接即可； （3）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求； （2）解：如图，三角形为所求； （3）解：可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置． 34．如图，将方格纸中的三角形先向右平移格得到三角形，再将三角形向上平移格得到三角形．    (1)动手操作：按上面步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形； (2)写出图中与既平行又相等的一条线段____，与相等的一个角_____． 【答案】(1)见解析 (2)或；或． 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据所给平移方式先找到对应点的位置，进而画出对应的三角形即可； （2）根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：由平移的性质可得，， 故答案为：或；或． 35．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的中线，熟练掌握平移的性质、三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）取格点，连接即可． （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解： 如图， 的面积为． 故答案为：9． 1．如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平移的性质是解题的关键． 由题意知，，由平移的性质可知，，，，，则，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 由平移的性质可知，，，，， ∴，即， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2．如图，将周长为个单位长度的沿方向向右平移个单位长度，得到，则四边形的周长为（　　） A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查平移的基本性质，根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再求解即可，正确掌握平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移个单位长度得到， ∴，， ∴四边形的周长 的周长 （个单位长度）， 故选：． 3．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 4．将沿方向平移个单位得．若的周长等于，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，先根据平移的性质得，，又，通过等线段代换计算四边形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】∵沿方向平移个单位得， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴四边形的周长， 故选：． 5．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 7．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的基本性质是解题的关键．根据平移的性质，可得答案． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 8．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查数轴表示的意义，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解．分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，得出点表示的数． 【详解】解：∵长方形的面积为24，边长为4， ∴，点对应的数是6， ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为12， ∴阴影部分的面积为12， ，， 如图1，当长方形向左平移时，即， ∴， ∴表示的数为3， 如图2，当长方形向右平移时，即， 解得：， ∴， ∴ ∴表示的数为9， 故答案为：3或9． 9．如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平移的性质、平行线的性质，根据对顶角相等、垂直定义及平行线的性质、角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平移直线a到直线d的位置， ∴, ∴， 故答案为：． 10．如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 11．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定： （1）利用平移思想，画出即可； （2）把绕C点顺时针旋转得到，则，然后把平移到，使点与点重合，； （3）把绕C点顺时针旋转得到，则； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； （4）∵，， ∴． 12．如图，在方格纸上有一条线段和一点． (1)过点画出与平行的直线； (2)过点画出与垂直的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查学生对垂线及平行线的基本作图方法的掌握情况． （1）利用平移作图即可． （2）根据垂线的作图方法按要求作图即可． 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如上图，． 13．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 14．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 15．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图形的平移 （2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①图形的平移性质； ②利用平移解决实际问题； ③平移作图； 1.掌握图形的平移性质； 2.利用平移解决实际问题； 3.掌握平移作图； 知识点1：平行线之间的距离 平行线间距离处处相等。 知识点2：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即学即练1】 1．如图，经过水平向右平移后得到，若，，则平移距离是（    ）    A． B．2cm C．3cm D．4cm 【即学即练2】 2．一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练3】 3．如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练4】 4．小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干长为，则树的高度长为(　　)．    A．19 B．17 C．15 D．11 题型01 生活中的平移现象 1．下列不属于平移现象的是（    ） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 2．下列四幅图中，能通过平移原图得到的是（   ） A． B． C． D． 3．中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 4．“神舟七号”飞船升向天空时，属于 现象，当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于 现象．（填“旋转”或“平移” 5．如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 题型02 图形的平移6．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 7．如图是由六个相同的等边三角形组成的图形，则可由平移得到的三角形（除外）有（    ） ‍ A．个 B．个 C．个 D．个 8．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（   ） A．形状相同，大小不一样 B．大小相同，形状不同 C．形状和大小完全相同 D．形状和大小完全不相同 9．如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到． 10．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      题型03 利用平移的性质求长度 11．如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，三角形沿方向平移2个单位长度后得到三角形，连接，若四边形的周长是13，则三角形的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 13．如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 14．如图，将平移至处，点、、、在同一条直线上，若，，则 ． 15．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 题型04 利用平移的性质求角度 16．如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 17．如图，将沿方向平移到的位置．若，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，将三角形纸板沿直线平移，使点A移到点B，若，，则的度数为 ． 19．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 20．如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型05 利用平移的性质求阴影部分的面积 21．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．30 B．26 C．32 D．42 23．如图，三角形的边长为，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，则阴影部分的面积是 ． 24．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 25．如图，将沿方向平移得到，已知，，，求阴影部分的面积． 题型06 利用平移解决实际问题 26．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 27．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 28．小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 29．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    30．综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    题型07 平移作图 31．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 32．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 33．三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 34．如图，将方格纸中的三角形先向右平移格得到三角形，再将三角形向上平移格得到三角形．    (1)动手操作：按上面步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形； (2)写出图中与既平行又相等的一条线段____，与相等的一个角_____． 35．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 1．如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将周长为个单位长度的沿方向向右平移个单位长度，得到，则四边形的周长为（　　） A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 3．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 4．将沿方向平移个单位得．若的周长等于，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 7．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 8．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 9．如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 10．如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 11．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 12．如图，在方格纸上有一条线段和一点． (1)过点画出与平行的直线； (2)过点画出与垂直的直线． 13．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 14．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 15．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$