热点10 等差、等比数列的性质及其应用（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点10 等差、等比数列的性质及其应用 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第15题，考察数列的概念与等比数列的结合 2023年，第14题，考察等差数列与等比数列的结合 2024年，第14题，考察等比数列的定义与立体几何的结合 2022年，第15题，考察等差数列与等比数列的结合 等差、等比数列是北京卷的必考内容，2025年高考数学等差数列与等比数列结合的题目可能会再次出现，也可能会考察等差数列与其他数学概念(如函数、不等式等)的结合. 题型1等差等比数列基本量计算 （1）可由等差（比）的通项公式与求和公式构造关于首项和公差（比）的方程组即可求解 （2）利用等差、等比数列的性质可简化计算 1．（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·北京朝阳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 3．（2024·北京·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．（2023·北京·三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则 ． 5．（2022·北京西城·一模）已知数列满足（），为其前项和，若，则 . 题型2等差等比数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 对于数列，若⇔是等比数列 1．（2022·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京东城·二模）已知数列中，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则不正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 4．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 5．（2023·24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)判断数列是否为等比数列； (3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和． 题型3等差数列的前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 1．（2023·北京海淀·二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2023·北京海淀·模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 3．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．当时，最大 B．当时，最小 C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项 4．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的最大值． 5．（2021·22高三下·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型4等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 1．（2024·北京门头沟·一模）已知等差数列的前项和为 ，若，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 2．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2022·北京大兴·三模）已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则 ． 4．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京房山·一模）数列是等差数列，若，，则（    ） A． B．9 C．10 D．20 题型5等比数列的性质 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 1．（2023·24高一下·上海徐汇·期末）若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·广东汕头·一模）已知，如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 4．（2023·24高一下·湖北孝感·期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中不成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 5．（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6等差数列前n项和的性质 等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 1．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 2．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 . 3．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 题型7等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 4．（2023·24高二下·湖北·阶段练习）等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 题型8含绝对值的等差数列前n项和 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 1．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 3．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③． (1)求的最小值； (2)设的前项和为，求． 4．（2023·上海青浦·一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 5．（2022·23高三下·江西·阶段练习）已知等差数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型9等差等比数列在实际中的应用 1．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块． 2．（2022·北京·模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 3．（2023·北京门头沟·一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 4．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 1．（2024·北京海淀·一模）已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·北京石景山·一模）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（    ） A． B． C．5 D．25 3．（2022·北京朝阳·二模）ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为的纸张的面积分别是，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是已知，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京·三模）为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，，如果，那么 B．存在，，满足，且 C．对任意，，如果，那么 D．存在，，满足，且 6．（2020·21高一下·上海普陀·期末）已知等差数列的前5项和，，则 ． 7．（2023·北京东城·一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则 ， . 8．（2023·北京西城·模拟预测）已知等比数列，记其前项乘积.若，则 ；的前4项和为 . 9．（2024·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则 . 10．（2022·北京朝阳·二模）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列的前10项和为 ；若，则m的最大值为 ． 11．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 12．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为 ． 13．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．625 B．600 C．540 D．400 14．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等比数列满足：，，则（   ） A．5 B．10 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点10 等差、等比数列的性质及其应用 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第15题，考察数列的概念与等比数列的结合 2023年，第14题，考察等差数列与等比数列的结合 2024年，第14题，考察等比数列的定义与立体几何的结合 2022年，第15题，考察等差数列与等比数列的结合 等差、等比数列是北京卷的必考内容，2025年高考数学等差数列与等比数列结合的题目可能会再次出现，也可能会考察等差数列与其他数学概念(如函数、不等式等)的结合. 题型1等差等比数列基本量计算 （1）可由等差（比）的通项公式与求和公式构造关于首项和公差（比）的方程组即可求解 （2）利用等差、等比数列的性质可简化计算 1．（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为，则， 又，所以， 所以． 故选：B． 2．（2024·北京朝阳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【详解】等差数列的公差为：， 则. 故选：D 3．（2024·北京·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由题可得，解得，则. 故选：B. 4．（2023·北京·三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则 ． 【答案】1 【详解】在等比数列中，成等差数列，则， 即，而，整理得，因为，故解得 故答案为：1 5．（2022·北京西城·一模）已知数列满足（），为其前项和，若，则 . 【答案】 【详解】由题意，数列满足（），可得数列是公比为的等比数列， 因为，可得，解得， 所以. 故答案为：. 题型2等差等比数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 对于数列，若⇔是等比数列 1．（2022·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以数列是以2为公比的等比数列，又，得，所以. 故选：C 2．（2023·北京东城·二模）已知数列中，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列， ∴， 故选：B. 3．（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则不正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】C 【详解】因为数列的前项和为，且， 对于A中，由，且， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确； 对于B中，由，且， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C中，由，可得， 即时，， 又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为． 所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误． 对于D中，当时，即， 所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确． 故选：C 4．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见详解， (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 5．（2023·24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)判断数列是否为等比数列； (3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和． 【答案】(1) (2)数列不为等比数列 (3)数列为等差数列， 【详解】（1）因为， 若，可得； 若，可得； 由于不符合，所以. （2）由（1）可知：， 则，可知， 所以数列不为等比数列. （3）因为，则， 由（1）可知：， 则， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以该数列的前项和. 题型3等差数列的前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 1．（2023·北京海淀·二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】设公差为，因为，， 所以，解得， 所以，令，解得， 所以当或时取得最大值，且. 故选：B 2．（2023·北京海淀·模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由性质知，则，且， 则， 令，得，即前项都是负数， 所以最小，所以. 故选:D 3．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．当时，最大 B．当时，最小 C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为d， ∵，则，即， 又∵，解得， 对A：∵为等差数列，则可设， 由二次函数可知不存在最大值，故A错误； 对B：因为，则有： 当时，，故； 当时，，故； 当时，，；故B错误； 对C、D：∵，则数列为递减数列， 且， 所以对，均有；对，均有0， 所以中，最大，无最小项，故C正确，D错误. 故选：C. 4．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，，所以， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2）解：，所以，， 所以，数列为等差数列， 所以， 所以当或时，取得最大值． 5．（2021·22高三下·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值， 必有，公差， 分3种情况讨论： ①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值， 此时，则有， 则， ②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值， 此时，则有， ， ③，，是等差数列的前项和中的最大值， 此时，，则，变形可得：， ， 而，则有， 综合可得：. 故选：A． 题型4等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 1．（2024·北京门头沟·一模）已知等差数列的前项和为 ，若，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 【答案】B 【详解】等差数列中，由，得，解得，而， 所以. 故选：B 2．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“存在且，使得”，不能推出“存在且，使得”， 例如，则，即，满足， 但令，则，故不存在存在且，使得， 故“存在且，使得”是“存在且，使得”的不充分条件； 若“存在且，使得”，则取， 则， 故“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要条件； 综上所述：“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2022·北京大兴·三模）已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列， 所以， 故答案为： 4．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，则 ∴ 故选：B． 5．（2022·北京房山·一模）数列是等差数列，若，，则（    ） A． B．9 C．10 D．20 【答案】B 【详解】因为数列是等差数列，，所以， 因为，所以， 故选：B 题型5等比数列的性质 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 1．（2023·24高一下·上海徐汇·期末）若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2023·广东汕头·一模）已知，如果，，，，成等比数列，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为是和的等比中项，所以，设公比为，则， 所以b与首项-1同号，所以．又a，c必同号，所以． 故选：B 3．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 4．（2023·24高一下·湖北孝感·期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中不成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】C 【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比， 又，，，，B正确； 又，故，即，A正确； C选项，由得，所以， 而，，因此，C错误； D选项，由上知， 先增后减，与均为的最大值，D正确． 故选：C 5．（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为等比数列中所有项均为正数， 若，则， 可知或或或或， 代入可得：或或或或， 所以当，时，取最小值． 故选：A． 题型6等差数列前n项和的性质 等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 1．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【详解】依题意，和是等差数列， 而，故可设， 其中，所以， ， . 故选：D 2．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即， 则. 故答案为： 3．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 题型7等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列. 且，，所以. 所以. 故选：A 2．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 4．（2023·24高二下·湖北·阶段练习）等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 【答案】8 【详解】设的公比为，则的公比为， 则的公比，则． 故答案为： 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1，得，解得， 所以. 故选：B 题型8含绝对值的等差数列前n项和 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 1．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 3．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③． (1)求的最小值； (2)设的前项和为，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，且． 选择①：（1）因为，所以，解得． 所以，则， 利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称， 因为，所以当或6时，. 选择②：因为，可得， 因为，所以，此时，所以， 因为，所以单调递增，且当时，． 所以当或11时，最小，此时. 选择③：因为，所以，即，所以， 所以，则， 利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称， 因为，所以当或6时，. （2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，， 所以 . 若选择②：由（1）知，且当时，，且， 所以 . 4．（2023·上海青浦·一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 【答案】或 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 5．（2022·23高三下·江西·阶段练习）已知等差数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则，解得. 故. （2）由（1）可得， 令，解得， 所以当时，，则， 当时，，则 ， 所以. 题型9等差等比数列在实际中的应用 1．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块． 【答案】 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，， 设每层有环，则，， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 所以，则， 即上层有扇形石板块. 故答案为：． 2．（2022·北京·模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项， 标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为， 因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为. 故选：D 3．（2023·北京门头沟·一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为. 故选：B. 4．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 5．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】A 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故选:A 1．（2024·北京海淀·一模）已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 2．（2024·北京石景山·一模）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则，，， 由题意可知，，即， 解得：或（舍）， 则数列的前5项和. 故选：A 3．（2022·北京朝阳·二模）ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为的纸张的面积分别是，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是已知，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】，令， 又组成一个公比为的等比数列， ， 又， . 故选：C. 4．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．（2024·北京·三模）为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（    ） A．对任意，，如果，那么 B．存在，，满足，且 C．对任意，，如果，那么 D．存在，，满足，且 【答案】C 【详解】对于A：是首项为，公差为，则满足， 但不满足，故A错误； 对于B：若，则可得或或或， 不妨取，由等差数列的前项和公式可得， 所以，故B错误； 对于C：若，则或或或， 显然公比，由等比数列前项和公式可得， 故，所以必为偶数，可得，所以，故C正确； 对于D：，则等比数列的公比为，则，故，故D错误. 故选：C. 【点睛】考查等比数列，等差数列的项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建, 6．（2020·21高一下·上海普陀·期末）已知等差数列的前5项和，，则 ． 【答案】 【详解】因为等差数列的前5项和，， 则，所以， 所以，解得等差数列的公差， 则. 故答案为：. 7．（2023·北京东城·一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则 ， . 【答案】 /0.25 【详解】由题意知，，由，得，， 又等差数列的公差为， 所以， 即，解得， 所以，解得， 当时，， 得， 当时，，与题意中的相符， 所以. 故答案为：；. 8．（2023·北京西城·模拟预测）已知等比数列，记其前项乘积.若，则 ；的前4项和为 . 【答案】 4 【详解】由题意，, 由， 解得，, 所以. 故答案为：；. 9．（2024·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则 . 【答案】6069 【详解】因为为正项数列且，① 所以，② 得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令可得，又，， 所以，解得， . 故答案为：6069. 10．（2022·北京朝阳·二模）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列的前10项和为 ；若，则m的最大值为 ． 【答案】 52； 45. 【详解】由于次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，例如， 系数分别为，对应杨辉三角形的第三行；令，就可以求出该行的系数和，第 行为，第行为，第行为，以此类推即每一行数字和为首项为，公比为的等 比数列，则杨辉三角形的前项和为.若去除所有的项，则剩下的每 一行的个数为，可以看成构成一个首项为，公差为的等差数列，则 ，可得：当时，， 则数列的前10项和为； 根据杨辉三角形的分布规律，最后出现的位置应为第行的最后一项， . 故答案为：；. 11．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 12．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为 ． 【答案】 4 3或4 【详解】等比数列中，公比；由，所以，又， 所以解得或； 若时，可得，则， 且的值为，可知数列单调递增，且各项均大于， 所以不会存在使得的乘积最大(舍去)； 若时，可得，则， 且的值为，…， 可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数， 前项均为正数且大于等于， 所以存在或，使得的乘积最大， 综上，可得的一个可能值是3或. 故答案为：4；3或4 13．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．625 B．600 C．540 D．400 【答案】A 【详解】因为，所以公差， 又，所以， 所以． 时，取得最大值625. 故选：A． 14．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等比数列满足：，，则（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即, 由①：因，故有， 又由②，可得，即.则. 于是，且， 故由可得：， 由③解得或，因，故得， 代入④，解得，故. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$