热点09 解三角形（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点09 解三角形 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第16题，考察正余弦定理解三角形 2023年，第7题，考察正余弦定理解三角形 2024年，第16题，考察三角恒等变换与解三角形的结合 预计解三角形问题将继续作为重点题目出现，以解答题考査为主，分值可能保持不动或者略有波动，题目可能继续围绕这两个定理进行考查 题型1利用正弦定理解三角形 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 1．（2023·北京西城·二模）在中，，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 3．（2024·广东·二模）在中，，，，则 . 4．（2024·江西新余·模拟预测）已知的外接圆面积为，，则（     ）. A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 题型2利用余弦定理解三角形 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在中，所对的边分别为.若，则 . 2．（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（    ） A．6或 B．6 C． D．3 3．（2022·北京通州·一模）在△ABC中，已知，，，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，M是的中点，，则 ， . 5．（2024·江西景德镇·三模）在中，，，分别为三个内角，，的对边，其中，，，则 . 题型3正余弦定理的综合应用 1．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， . 2．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 3．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 4．（2024·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 5．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 题型4利用正余弦定理判断三角形形状 判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 . 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 3．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（2023·四川绵阳·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2022·23高一下·江苏宿迁·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 题型5正余弦定理的边角互换 1．（2024·北京东城·一模）在中，. (1)求； (2)若为边的中点，且，求的值. 2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京西城·三模）在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ． 4．（2023·北京门头沟·一模）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，. (1)求∠A的大小； (2)求a的值. 5．（2023·北京·模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（    ） A． B． C． D． 题型6三角形的面积问题 一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 1．（2024·北京·三模）在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 2．（2024·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求角C的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2024·北京大兴·三模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 4．（2024·北京·三模）在锐角中，已知 (1)求角； (2)若，，求的面积． 5．（2024·北京顺义·三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角B的大小； (2)若；从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 题型7三角形中线及角平分线问题 （1）若是的中线，则①向量法； ②双余弦定理法：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 （2）若是的角平分线，则有：①；② 1．（2022·北京海淀·三模）已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 2．（2024·25高二上·重庆·期中）在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 4．（2024·辽宁抚顺·三模）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若为的中线，且，求的面积． 5．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 题型8三角形中的最值范围问题 求最值范围的两种方法： （1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 1．（2023·北京丰台·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为 ；的最大值是 . 2．（2023·北京·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 3．（2023·北京延庆·一模）在中，，. (1)当时，求和； (2)求面积的最大值. 4．（2024·北京·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)若，，求的面积； (2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 5．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 题型9解三角形的实际应用 1．（2022·海南·模拟预测）如图，已知某无人机的航线和，，三艘潜艇在同一个铅垂平面内，若某时刻测得，相距200米，且在，两艘潜艇上测得该无人机所在位置的仰角分别为75°，30°，且点在的正上方，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m． 4．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 5．（2023·24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 题型10解三角形与三角函数综合应用 1．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记． (1)求函数的值域； (2)在中，若，，，求的面积． 2．（2022·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 3．（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 4．（2022·江西·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值. 5．（2022·山东济南·二模）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状． 1．（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024·北京门头沟·一模）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·贵州·阶段练习）在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 5．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 6．（2023·北京西城·二模）在中，若，，，则 . 7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ． 8．（2023·北京东城·模拟预测）在中，，，，则 . 9．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 10．（2023·北京·模拟预测）在中，角的对边分别为.已知，. (1)求证：； (2)若，求的面积. 11．（2023·北京房山·二模）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 12．（2023·北京丰台·二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 13．（2024·北京海淀·模拟预测）在中，，.求： (1)的值； (2)和面积的值． 14．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 15．（2024·北京房山·一模）在中，角的对边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点09 解三角形 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第16题，考察正余弦定理解三角形 2023年，第7题，考察正余弦定理解三角形 2024年，第16题，考察三角恒等变换与解三角形的结合 预计解三角形问题将继续作为重点题目出现，以解答题考査为主，分值可能保持不动或者略有波动，题目可能继续围绕这两个定理进行考查 题型1利用正弦定理解三角形 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 1．（2023·北京西城·二模）在中，，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解：在中，，， 当时，由正弦定理可得 ，， 当时，由正弦定理可得，，因为，所以或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 2．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 3．（2024·广东·二模）在中，，，，则 . 【答案】 【详解】由正弦定理，得， 解得， 又，所以，即. 故答案为： 4．（2024·江西新余·模拟预测）已知的外接圆面积为，，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理：，，故， 所以. 故选：C. 5．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使得有两组解，则，又，得到， 故选：D. 题型2利用余弦定理解三角形 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在中，所对的边分别为.若，则 . 【答案】2 【详解】由余弦定理得，代入数据得，解得. 故答案为：2. 2．（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（    ） A．6或 B．6 C． D．3 【答案】A 【详解】由余弦定理可得, 故或， 故选：A 3．（2022·北京通州·一模）在△ABC中，已知，，，则（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为在△ABC中，，，， 所以由余弦定理得， ，得， 解得，或（舍去）， 故选：D 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，M是的中点，，则 ， . 【答案】 【详解】依题作出图像，如图： 在中，，，， 由余弦定理：，解得：， 则，所以， 解得：， 故. 故答案为：； 5．（2024·江西景德镇·三模）在中，，，分别为三个内角，，的对边，其中，，，则 . 【答案】3 【详解】由余弦定理：得：. 所以或（不合题意，舍去）. 故答案为：3 题型3正余弦定理的综合应用 1．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则 ， . 【答案】 / 【详解】由正弦定理，有，所以， 由余弦定理，有， 解得. 故答案为：，. 2．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于③，，所以，，得，进而， 可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意. 故可以选择的条件序号为：①② 故选：B 3．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 由正弦定理得：，，             又因为为锐角，. （2）在中由余弦定理得： ，或     若，则，则为钝角，舍去             ，因为为中点， 在中，              在中， 4．（2024·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【详解】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 5．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由余弦定理，得，所以舍负， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以． 故选：D． 题型4利用正余弦定理判断三角形形状 判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 . 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【详解】因为，可得， 由正弦定理和余弦定理，可得， 整理得，即， 即，可得， 所以或，所以是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B 3．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 4．（2023·四川绵阳·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】， 所以由正弦定理可得 所以， 所以， 所以， 所以， 在三角形中， 所以， 所以为钝角， 故选：C. 5．（2022·23高一下·江苏宿迁·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】， 故， 由正弦定理得， 其中， 即， 故， 因为，所以，故， 因为，所以， 的形状为直角三角形. 故选：B 题型5正余弦定理的边角互换 1．（2024·北京东城·一模）在中，. (1)求； (2)若为边的中点，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即，， 又因为， 所以， 解得，又因为， 所以； （2）解：因为为边的中点，， 所以, 设, 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为，所以，    在中，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即. 2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 3．（2023·北京西城·三模）在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ． 【答案】 【详解】因为中，， 所以由正弦定理可得，即. 又因为，所以， 所以由余弦定理可得， 故答案为：； 4．（2023·北京门头沟·一模）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，. (1)求∠A的大小； (2)求a的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，因为，所以， 得，因为，所以. （2）在中，由余弦定理得：， 即，解得：(负值舍去)，则， 在中，由余弦定理得：，所以. 所以. 5．（2023·北京·模拟预测）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 、，则，所以，， 所以，，故. 故选：C. 题型6三角形的面积问题 一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 1．（2024·北京·三模）在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2）若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 2．（2024·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求角C的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 可得， 且，所以. （2）因为，，由正弦定理可得， 可得. 若选条件①：因为，，即， 可得，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意； 若选条件②：因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 则，， 因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一， 又因为， 所以的面积； 若选条件③：因为的周长是， 则，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，且， 可知方程有2个不相等的实根， 且，可知方程有2个不相等的正实根， 即边a不唯一，不合题意. 综上，只有选条件②符合题意. 3．（2024·北京大兴·三模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得，由正弦定理得 得 ， 得 （2）法一：由（1）知，代入得， 由余弦定理 得 得或 ①当时， ②当时， 法二：代入得 ∵，∴，或 ①时， ②时， 4．（2024·北京·三模）在锐角中，已知 (1)求角； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理的边角互化可得，即， 由余弦定理可得， 且为锐角三角形，所以. （2）因为，，由余弦定理可得， 即，解得或， 因为为锐角三角形，当时，边最大，所以角为最大角， 而， 此时角为钝角，与为锐角三角形矛盾，故； 当时，边最大，所以角为最大角， 而，此时角为锐角， 所以符合条件. 所以. 5．（2024·北京顺义·三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角B的大小； (2)若；从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，又 所以，因为，所以， 所以，故， 因为，所以. （2）若选条件①：由已知可得，，， 由余弦定理得，解得， 因为答案不唯一，所以舍去. 若选条件②：因为，， 故，， 所以 ， 由正弦定理得，解得， 则的面积为. 若选条件③：由已知可得，，由（1）， 则的面积为. 题型7三角形中线及角平分线问题 （1）若是的中线，则①向量法； ②双余弦定理法：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 （2）若是的角平分线，则有：①；② 1．（2022·北京海淀·三模）已知的内角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 【答案】(1)； (2)条件正确，(i)；(ii). 【详解】（1）， ， ， ，得Z， 由，得； （2）若条件①正确，由，得， 由余弦定理，得，即， 解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； (i)由，， 得，解得， 由余弦定理，得， 因为，所以，由正弦定理， 得，即； (ii)由正弦定理，得，即， 因为平方，，所以， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 又，上述两式相除，得， 解得，所以. 2．（2024·25高二上·重庆·期中）在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得到， 又，所以，即，得到， 又，所以，解得. （2）因为，，所以， 又，得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以，解得(舍负)，所以， 故的面积为. 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立，    此时， 故. 4．（2024·辽宁抚顺·三模）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若为的中线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，可得， 因为，可知，所以， 又因为，联立方程组得， 所以． （2）解：由（1）知，可得， 因为为的中线，且，所以， 两边平方得， 又由余弦定理得，即， 两式相减，可得，所以． 5．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得， 又由的周长为，可得，即， 由余弦定理得 ，解得， 设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以， 所以的外接圆面积为． （2）解：若选择①： 法1：由（1）知，及， 由，可得 ， 所以，即． 法2：不妨设，由及，解得， 在和中，可得， 由余弦定理得，解得． 若选择②，不妨设，由及，解得， 法1：由， 可得，解得． 法2：由张角定理，得， 即，解得， 题型8三角形中的最值范围问题 求最值范围的两种方法： （1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 1．（2023·北京丰台·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为 ；的最大值是 . 【答案】 【详解】∵，∴由正弦定理得， 又，故，∴， ∵，∴； ∴， ∴，. ∵，∴， ∴当，即时，取得最大值. ∴当时，取得最大值. 故答案为：；. 2．（2023·北京·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，对于， 利用正弦定理得： ∵，∴. ∵，且 ∴， ∴. （2）由（1）.在中， ∴ ∴（当且仅当时取等号，此时， ）. ∴ ∴ 3．（2023·北京延庆·一模）在中，，. (1)当时，求和； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)， (2)27 【详解】（1）因为且， 所以. 由正弦定理得，即. 所以. 所以或. 因为， ，所以. 所以. 由，即， 解得. （2）因为，    因为， 所以.                         所以，当且仅当为时，等号成立. 所以. 所以面积的最大值为. 4．（2024·北京·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)若，，求的面积； (2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以. （2）因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 5．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 题型9解三角形的实际应用 1．（2022·海南·模拟预测）如图，已知某无人机的航线和，，三艘潜艇在同一个铅垂平面内，若某时刻测得，相距200米，且在，两艘潜艇上测得该无人机所在位置的仰角分别为75°，30°，且点在的正上方，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】， 在三角形中，， 由正弦定理得 ， 在中，米. 故选：B 2．（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 【答案】 【详解】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m． 【答案】20 【详解】在中，延长与的延长线交于点E，如图所示. 由题意可知，， 因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发， 所以三点在同一条直线上. 所以， 所以为等腰三角形， 即. 设，即，， 在中，由余弦定理得 , 即，， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 4．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 5．（2023·24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【详解】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 故答案为： 题型10解三角形与三角函数综合应用 1．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记． (1)求函数的值域； (2)在中，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ， 当且仅当即时，， 所以函数的值域是． （2）由（1）得，所以， ，， ，， 由正弦定理得， 又，故， 由余弦定理得，， ． 2．（2022·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 【答案】(1)满足①③， (2) 【详解】（1）（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③， 由③知，则 故 （2），由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立 又，故面积最大值为 3．（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 设函数的周期为，由题意，即，解得， 所以. （2）由得：，即，解得， 因为，所以， 因为的平分线交于， 所以，即，可得， 由余弦定理得：，，而， 得，因此. 4．（2022·江西·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 则其最小正周期； （2）由，且， 所以， 由余弦定理得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 所以该三角形面积的最大值为. 5．（2022·山东济南·二模）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状． 【答案】(1). (2)是正三角形. 【详解】（1）解：函数 ， ． ∴函数的最小正周期为． （2）解：， ，所以解得． 又， ，即． 是正三角形． 1．（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意可得：， 由正弦定理可得. 故选：D. 2．（2024·北京门头沟·一模）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 解得，则， 所以. 故选：A. 3．（2023·北京丰台·三模）在中，，则边上的高等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，因为， 由余弦定理得 因为，所以 设边上的高为，则，    所以，即边上的高等于. 故选：B. 4．（2024·25高三上·贵州·阶段练习）在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用基本不等式求得，进而得，求得角，从而解决问题. 5．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 6．（2023·北京西城·二模）在中，若，，，则 . 【答案】 【详解】由已知，， 则，， 又， 所以，， 又根据正弦定理， 则， 故答案为：. 7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ． 【答案】 【详解】由余弦定理可得：， 解得：，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 8．（2023·北京东城·模拟预测）在中，，，，则 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得， 解得，则， 又， 所以. 故答案为： 9．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意可得面积， 可得，即， 又易知为锐角，可得； 由正弦定理可得， 因为为钝角，可得，所以； 可得，因此； 故答案为：；； 10．（2023·北京·模拟预测）在中，角的对边分别为.已知，. (1)求证：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由， 由正弦定理可得． ． 整理得，即， 由于，从而，． （2）解：，因此，， 由，，得，， 所以三角形的面积． 11．（2023·北京房山·二模）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1） 在中，因为，所以， 因为，，所以， 由，得， 解得 （2）因为，为钝角，所以， 由得， 整理得，解得或（舍），所以. 所以的周长为. 12．（2023·北京丰台·二模）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①，；选②， (2)选①，；选②， 【详解】（1）选①，由余弦定理得， 解得， 选②，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，解得. （2）选①，，， 故， 在中，，所以⊥，故， 所以四边形ABCD的面积为； 选②，，故，故， 因为，所以， 故， ， 故四边形ABCD的面积为. 13．（2024·北京海淀·模拟预测）在中，，.求： (1)的值； (2)和面积的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由可得，即. 又则 故或解得或. 因，则不是最大角，故得， 所以 （2）由正弦定理，可得. 则 因为，由余弦定理，， 则故 则 14．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 15．（2024·北京房山·一模）在中，角的对边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以，则， 所以， 因为，所以，所以； （2）选①，，为锐角， 由正弦定理得，所以， 所以， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）或，符合条件， 所以. 选②，，解得或， 若，因为，所以，符合条件， 若，因为， 所以为钝角，符合条件， 所以该三角形有个解，不符合条件. 选③，， 由正弦定理得，所以，符合条件， 所以，所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$