7.3定义、命题、定理（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级下册 相交线与平行线 第七章 1 7.3 定义、命题、定理 第7章 相交线与平行线 2 新知探究 360安全响应中心第一时间拉响警报. 岂曰无衣，与子同袍. 2024年春节期间，DeepSeek遭受国家级网络攻击，服务器多次崩溃或卡顿，妄图盗取数据和隐私，中国红客经过83小时建立稳固防御系统. DDOS即分布式拒绝服务攻击. 情境引入 2024年春节期间，DeepSeek遭受国家级网络攻击，服务器多次崩溃或卡顿，妄图盗取数据和隐私，中国红客经过83小时建立稳固防御系统. 最终以拦截97.2%的美国攻击流量获胜. 我们成功守住了我国AI产业的新高地. 思考：以上句子各有什么特点？ 新知探究 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如： (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 新知探究 学习笔记 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；x=2根据方程的解的定义，可以判断是方程2x=3的解. 定义是交流的基础.定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义. 新知探究 1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.等式两边加同一个数，结果仍是等式. 3.对顶角相等. 思考：下列语句有什么共同点？ 以上语句都是对一件事情作出“是” 或“不是”的判断. 新知探究 1.画线段AB= CD. 3.对顶角相等吗? 2.点P在直线AB外.. 以上语句没有对事情作出“是”或 “不是”的判断，只是对事情进行了描述. 思考：下列语句有什么共同点？ 学习笔记 新知探究 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么 它就不是命题. 如：画线段 AB = CD. 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 如：相等的角是对顶角. 注意： 像紫色字“对顶角相等”这样判断一件事情的语句，叫做命题. 思考：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？ 哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的李明明； 6、玫瑰花是动物； 7、若a2＝4，求a的值； 8、若a2＝b2，则a＝b. 新知探究 新知探究 2、同位角相等. 3、连接A、B两点. 练习：下列哪句是命题？ 1、熊猫没有翅膀. 4、两条直线相交有几个交点？ 你还能举出一些“命题” 的语句吗？ 你还能举出一些不是“命题” 的语句吗？ 否 是 否 否 新知探究 1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 2、如果a﹥b ，b﹥c，那么a = c. 3、如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式. 思考：观察下列命题，他们有何特征？ 新知探究 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.” 此命题分成两部分： 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 题设 结论 命题是由题设(或条件)和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 两直线平行， 同位角相等. 题设（条件） 结论 学习笔记 新知探究 命题一般都写成“如果…，那么…”的形式. “如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 学习笔记 新知探究 命题 题设 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 两直线平行， 同位角相等 题设（条件） 结论 命题的组成： 学习笔记 新知探究 有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立. 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题. 确定一个命题真假的方法： 利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法. 新知探究 1、两直线平行，同旁内角互补. 3、同位角相等. 2、等角的补角相等. 4、相等的角是对顶角. 正确的命题 错误的命题 真命题 假命题 新知探究 （1）同旁内角互补（ ） （4）两点可以确定一条直线（ ） （7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ） （2）一个角的补角大于这个角（ ） 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示. （5）两点之间线段最短（ ） （3）相等的两个角是对顶角（ ） × √ （6）同角的余角相等（ ） × √ √ √ × 学习笔记 新知探究 1.真命题必须用推理的方法进行证明. 2.要证明一个假命题 ，或者说明假命题是错误的， 只需要： 简单地说就是举反例. 举出一个具有命题的条件，而不具有命题的结论的一个例子，就可以了. 学习笔记 新知探究 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做基本事实. 两点确定一条直线. 两点之间，线段最短. 经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行. 关于直线的基本事实： 关于线段的基本事实： 平行公理(基本事实)： 学习笔记 典例精析 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理. 定理也可以作为继续推理的依据. 同角或等角的补角相等. 2.余角的性质： 同角或等角的余角相等. 4.垂线的性质： ①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 1.补角的性质： 3.对顶角的性质： 对顶角相等. ②垂线段最短. 学过的定理： 学习笔记 新知探究 1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 2.公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据. 公理和定理的最大区别就是前者不必证明， 后者必须证明. 公理和定理的共同之处： ①都是真命题，②都可以作为证明命题的根据. 典例精析 例1 (2)同垂直于一条直线的两条直线平行. (3)同角的余角相等. 把下列命题写成“如果…，那么…”的形式： (1)直角都相等. 如果几个角是直角，那么这几个角都相等 如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等 题设:几个角是直角，结论:这几个角都相等 题设:两条直线都垂直于同一条直线，结论:这两条直线平行 题设:两个角是同一个角的余角，结论:这两个角相等 典例精析 例2 1.过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 3.内错角相等.. 判断下列命题的真假性： 2.互补的角是邻补角. 4.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. 假 假 假 真 典例精析 例3 如图，已知直线b∥c，a⊥b．求证：a⊥c． 证明：∵a⊥b（已知）， ∴∠1＝90°（垂直的定义）． 又∵b∥c（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）． ∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）． ∴a⊥c（垂直的定义）． a b c 1 2 定义、命题、定理 定义 具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义. 命题 定义：判断一件事情的句子 组成：题设和结论 分类：真命题和假命题 定理 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 随堂演练 1.下列命题中真命题是（ ） A.同位角的平分线互相平行 B.内错角的平分线互相平行 C.同旁内角的平分线互相垂直 D.对顶角的平分线互为反向延长线 D 2.下列关于定理的说法中，正确的是（ ） A.真命题都是定理 B.假命题不是定理 C.真命题不是定理就是公理 D.定理不一定是真命题 B 随堂演练 3.有下列命题：①若x2＝4，则 x＝2； ②若│m│＝3，则m＝±3； ③互余的两个角的和一定是90°； ④若a＝b，则 │a│＝│b│， ⑤锐角大于它的余角； ⑥互为相反数的两个数的积是负数. 其中假命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 C 随堂演练 4.命题“等角的补角相等”的 ⑴ 题设是 ， ⑵ 结论是 . 如果两个角相等 那么这两个角的补角相等. 5.对于同一平面内的三条直线a、b、c给出下列五个论断： ① a∥b ； ②b∥c； ③ a⊥b； ④ a∥c ； ⑤ a⊥c. 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题是： 在同一平面内的三条直线a、b、c，如果a∥b，b∥c；那么a∥c ； 在同一平面内的三条直线a、b、c，如果a⊥b， a⊥c；那么b∥c. 随堂演练 （1）两直线平行，同旁内角互补. （3）同位角相等. 6.把下列命题写成“如果…，那么…”的形式： （2）等角的补角相等. （4）对顶角相等. 如果两直线平行，那么同旁内角互补 如果两个角相等，那么它们的补角也相等 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等 随堂演练 （1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补. （2）如果a﹥b ，b﹥c，那么a = c. （3）如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式. 7.指出下列命题的题设和结论 题设:两条平行线被第三条直线所截，结论:同旁内角互补 题设: a﹥b ，b﹥c ，结论: a = c 题设:等式两边加同一个数，结论:结果仍是等式 随堂演练 8.如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理由. 证明：∵ DE∥BC (已知) ∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠1＝∠3 (已知) ∴∠2＝∠3 (等量代换) ∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行) ∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等) A B C D E F G 1 3 2 随堂演练 8.如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理由. A B C D E F G 1 3 2 ∴∠2＝∠3 (等量代换) ∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行) ∵ CD⊥AB (已知) ∴∠BDC＝90° (垂直定义) ∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等) ∴∠BFG＝90° (等量代换) ∴ FG⊥AB (垂直定义) $$