7.2.3（第3课时）平行线的拐点模型（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级下册 相交线与平行线 第七章 1 7.2.3（第3课时） 平行线的拐点模型 第7章 相交线与平行线 2 典例精析 例1 B D C E A 解：如图，过点 E 作 EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB. F 如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？ 说说你的看法. 你还有其他解法吗？ 典例精析 例1 B D C E A 法二：如图，过点 E 作 EF//AB. ∴∠B+∠1=180°. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D+∠2=180°. ∴∠B＋∠D+∠1+∠2=360°， 又∵∠DEB+∠1+∠2=360°， 即∠B＋∠D＝∠DEB. F 如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？ 说说你的看法. 1 2 图形 条件 结论 典例精析 学习笔记 模型一：“猪蹄”模型 B D C E A AB//CD ∠B＋∠D＝∠DEB 典例精析 例2 如图，将有一个角为 的直角三角尺放置在两条平行线和上， 若 ，求 的度数. 解：如图，过点作 . 由平行线的性质，得 . 则 . 由 ，，得. 所以 . 典例精析 思考：如果是以下图形，结论又是怎样的？如何证明？ 一般地，如图，AB∥CD，则： 性质1：当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E. 性质2：当AB与CD之间有两个拐点时：∠A+∠F= ∠E +∠D. 性质3：当AB与CD之间有三个拐点时：∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2. 思考：你发现了什么？ 典例精析 一般地，如图，AB∥CD，则∠A，∠F1 ，∠F2 ，… ， ∠Fn-1与∠E1 ，E2 ，…，∠Em-1，∠D之间的关系： C A B D E1 F1 E2 Em-1 F2 Fn-1 ∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D 证明方法： 遇拐点，作平行. 典例精析 例3 如图，AB//CD，试说明∠B+∠D +∠DEB=360°. F C A B D E 解：过点 E 作 EF//AB. ∴∠B+∠BEF＝180°. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D +∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°，即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°. 你还有其他解法吗？ 典例精析 例3 如图，AB//CD，试说明∠B+∠D +∠DEB=360°. F C A B D E 1 2 法二：如图，过点 E 作 EF//AB. ∴∠B=∠1. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D=∠2. ∴∠B+∠D=∠1+∠2 ∴又∵∠DEB+∠1+∠2=360°， ∴∠DEB+∠B+∠D=360°. 典例精析 学习笔记 模型二：“铅笔”模型 图形 条件 结论 C A B D E AB//CD ∠DEB+∠B+∠D =360° 典例精析 例4 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° C 解：由铅笔模型的结论可知， ∠ACB＝90°=∠MAC+∠CBN， 故∠CBN90°-35°=55°. 典例精析 例5 如图，已知，求 的度数. 解：如图，过点作，过点作 ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补） ， （两直线平行，同旁内角互补） M N 典例精析 性质1：当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°. 性质2：当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°. 性质3：当有三个拐点时：∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°. 思考：如果是以下图形，结论又是怎样的？如何证明？ 一般地，如图，AB∥CD，则： 思考：你发现了什么？ 典例精析 一般地，如图，当有 n 个拐点时 ： … A B C D E1 E2 En ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°. 证明方法： 遇拐点，作平行. 典例精析 例6 如图，AB//CD，探究下面图中∠P 与∠A，∠C之间的关系. 解：∠APC+∠A=∠C.理由如下： 过点 P 作 PE//AB，则∠EPA+∠A=180°. ∵ ∠EPA=∠APC+∠1， ∴ ∠APC+∠1+∠A=180°， ∴ ∠APC+∠A=180°-∠1. ∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠1+∠C=180°，∴ ∠C= 180°-∠1. ∴ ∠APC+∠A=∠C. E 1 典例精析 例7 (4) 如图，AB//CD，探究下面图中∠P 与∠A，∠C之间的关系. 解：∠A=∠APC+∠C.理由如下： 过点 P 作 PE//AB，则∠1+∠A=180°. ∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°， ∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°. ∴ ∠A=∠APC+ ∠C. E 1 典例精析 学习笔记 模型三：“骨折”模型 图形 条件 结论 AB//CD ∠APC+∠A=∠C ∠A=∠APC+ ∠C 典例精析 例8 如图 ，已知 AB∥CD，∠ABE 的平分线与∠CDE的平分线相交于点F． （1）求证：①∠ABE + ∠CDE + ∠E = 360°； （1）证明：①如图，过点E作EN//AB， ∵EN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补， 得 ∠ABE+∠BEN=180°， ∵AB//CD，AB//NE， 根据平行于同一条直线的两条直线，也互相平行，得NE//CD， 根据两直线平行，同旁内角互补， 得∠CDE+∠NED=180°， 根据等式的性质，得∠ABE+∠E+∠CDE=360°; N 典例精析 例8 如图 ，已知 AB∥CD，∠ABE 的平分线与∠CDE的平分线相交于点F． （1）求证：②∠ABF + ∠CDF = ∠BFD； （1）证明： ②如图，过点F作FG//AB， ∵FG//AB，根据两直线平行，内错角相等， 得∠ABF=∠BFG， ∵AB//CD，FG//AB， 根据平行于同一条直线的两条直线，也互相平行，得FG//CD，根据两直线平行，内错角相等， 得∠CDF=∠GFD， 根据等式的性质得∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠GFD=∠BFD; G 典例精析 例8 如图 ，已知 AB∥CD，∠ABE 的平分线与∠CDE的平分线相交于点F． （2）如图，当∠ABM =∠ABF, ∠CDM =∠CDF时，请你写出∠M与∠E之间的关系，并加以证明. 解：（2）∠E+6∠M=360°，理由如下： ∵设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，由（1）得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∴6x+6y+∠E=360°，∴∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，∴6x+6y+∠E=∠M+5x+5y+∠E，∴∠M=x+y，∴∠E+6∠M=360°. 模型 “铅笔”模型 “猪蹄”模型 “骨折”模型 图形 已知条件 AB∥CD AB∥CD AB∥CD AB∥CD 结论与规律 ∠A+∠APC+∠C=360° ∠APC= ∠A+∠C ∠A=∠P+∠C ∠C=∠A+∠P 随堂演练 2. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ满足的关系式为(　　) A.α+β+γ=360°　　　　　　B.α-β+γ=180° C.α+β-γ=180°　　　　　　D.α+β+γ=180° C 1.如图，如果,那么 ( ) A. B. C. D. C 随堂演练 3.如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行∠1＝32°，∠2＝62°则∠3的度数是（　　） A．118° B．148° C．150° D．162° C 4.如图，直线AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（　） A．80° B．120° C．100° D．140° C 随堂演练 5.如图，直线AB∥EF，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝（　　） A．270° B．360° C．540° D．560° C 6.如图，直线， 于点.若 ，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 随堂演练 7.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( ) A. 110° B. 115° C. 120° D. 125° C 8. 如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ . 30° 随堂演练 9.如图，已知， ， ，则____ . 65 10.如图，，则 _______. 11.一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE， 则∠ABC＋∠BCD＝_____． 随堂演练 解：过点 E 向右作 EF∥AB. ∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∥ （平行于同一直线的两直线平行）. ∴∠A +∠ = 180°，∠C +∠ = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 又∵∠A = 100°，∠C = 110° (已知)， ∴∠ = °，∠ = °. ∴∠AEC =∠1 +∠2 = °+ ° = °. 12. 有这样一道题：如图，AB∥CD，∠A = 100°，∠C = 110°，求∠AEC 的度数.请补全下列解答过程. E A B C D CD EF 1 2 1 2 80 80 70 2 1 F 70 150 随堂演练 13.已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 =∠2，试说明∠3 =∠E. A B C D E F 1 2 3 解： ∵∠1 =∠2 ∴ AB∥EF （内错角相等，两直线平行）. (已知）， ∵ AB⊥BF，CD⊥BF， ∴ AB∥CD ∴ EF∥CD ∴∠3 = ∠E (垂直于同一条直线的两条直线平行). (平行于同一条直线的两条直线平行). (两直线平行，同位角相等). 随堂演练 14.如图，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD 的数量关系，并说明 理由.(尝试用两种方法证明） A B C D P E 解：∠BAP +∠APC =∠PCD. 法一：作∠PCE =∠APC，交 AB 于 E. 则 AP∥CE. ∴ ∠AEC =∠A. ∴∠BAP +∠APC =∠PCE +∠AEC. ∵ AB∥CD，∴ ∠ECD =∠AEC. ∴∠BAP +∠APC =∠PCE +∠ECD =∠PCD. 随堂演练 A B C D P E 法二：作∠APE =∠BAP， 则 EP∥AB. ∵ AB∥CD， ∴ EP∥CD. ∴∠EPC=∠PCD. ∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD， 即∠BAP+∠APC =∠PCD. 14.如图，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD 的数量关系，并说明 理由.(尝试用两种方法证明） 随堂演练 15.已知直线AB//CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点P是平面内一个动点,且满足∠MPN=90°,过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC. (1)如图①,当射线NQ与NM重合,∠QND=50°时，则∠AMP=______; 25° F 随堂演练 (2)如图②,当射线NQ与NM不重合，∠QND=α时,求∠AMP的度数(用含α的式子表示); 解:如图②,过P作PF//AB ∵AB//CD ∴AB//PF//CD ∴∠AMP=∠MPF , ∠CNP=∠FPN ∴∠MPN=∠AMP+∠PNC ∵∠MPN=90° ∴∠AMP+∠PNC=90° ∵∠PNQ=∠PNC,∠QND=α ∴∠PNC==90°-α. ∴∠AMP=90°-90°+α=α F 随堂演练 15.已知直线AB//CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点P是平面内一个动点,且满足∠MPN=90°,过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC. (1)如图①,当射线NQ与NM重合,∠QND=50°时，则∠AMP=______; 25° F (3)请直接写出在点P运动的过程中，∠QND与∠AMP之间的数量关系 ____________________. ∠AMP=∠QND $$