7.2.3（第1课时）平行线的性质（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级下册 相交线与平行线 第七章 1 7.2.3（第1课时） 平行线的性质 第7章 相交线与平行线 2 新知探究 画两条平行线 a//b，然后画一条截线 c 与 a，b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 新知探究 ∠1， ∠2，⋯，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 猜想： 两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等. b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 新知探究 再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数， 你的猜想还成立吗？ 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？ 学习笔记 新知探究 平行线性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说就是：两直线平行，同位角相等. 符号语言： ∵ l1∥l2（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 新知探究 演绎推理，发现平行线的其它性质 已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD． ∠1 和∠2 有什么关系？ ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠1=∠2. 学习笔记 新知探究 平行线性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言： ∵ AB∥CD，（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 新知探究 已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD． 求∠2+∠4 度数是多少？ ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等） ∠3+∠4 = 180°（已知） ∴∠2+∠4 = 180°. 学习笔记 新知探究 平行线性质3： 两条平行线被第三条线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言： ∵ AB∥CD，（已知） ∴∠2+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 新知探究 性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 两直线平行， 同位角相等 如果 a//b， 那么∠1=∠2 性质2 两直线平行， 内错角相等 如果 a//b， 那么∠2=∠3 性质3 两直线平行， 同旁内角互补 如果 a//b， 那么∠2+∠4=180° 新知探究 平行线的判定和性质的区别和联系: 平行线的判定 对 比 平行线的性质 同位角相等，两直线平行; 内错角相等，两直线平行; 同旁内角互补，两直线平行. 两直线平行，同位角相等; 两直线平行，内错角相等; 两直线平行，同旁内角互补. （1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． （2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 联系：它们的条件和结论是互逆的. 区别：性质与判定要证明的问题是不同的． 典例精析 例1 在下列解答中，填上适当的理由: （1）∵AD // BC (已知)， ∴ ∠1 = ∠B（ ）； （2）∵AB // CD (已知)， ∴ ∠1 = ∠D（ ）. 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同位角相等 典例精析 例2 在下列解答中，填空: （1）∵AD // BC (已知)， ∴( ) + ∠ABC = 180° (两直线平行，同旁内角互补); （2）∵ AB // CD (已知)， ∴∠ABC + ( ) = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∠BAD ∠BCD 典例精析 例3 如图，已知直线 a∥b，∠1=46°，求∠2的度数. 解： ∵a∥b（已知）， ∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵∠1=46°（已知）， ∴∠2=46°（等量代换）. 典例精析 例4 如图，AB//CD，BC//AE，∠1 =50°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：∵ AB//CD，∴∠A=∠1=50°. ∵BC//AE， ∴ ∠C=∠1=50°， ∠A +∠B= 180° ∴ ∠B=180°-∠A= 130°. 还有其他解法吗？ 典例精析 例4 如图，AB//CD，BC//AE，∠1 =50°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 法二：∵ BC//AE，∴ ∠C=∠1=50°. ∵ AB//CD， ∴ ∠A =∠1=50°，∠C+∠B= 180°， ∴ ∠B =180°-∠C = 130°. 典例精析 例5 如图，在四边形 ABCD 中 ，AB // CD，∠B = 60°，求∠C 的度数. 你还能否求得 ∠A 的度数？ 解：∵AB// CD (已知)， ∴∠B+∠C = 180°(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠B = 60°(已知)， ∴∠C = 180°-∠B = 120°(等式的性质). 根据题目的已知条件，无法求出 ∠A 的度数. 典例精析 例6 解：(1)根据两直线平行，内错角相等， 可得∠ABG=48°， ∴ 从 B 地测得公路的走向是南偏西 48°. 如图，在 A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路走向是北偏东 48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通. (1)从 B 地测得公路的走向是南偏西多少度? 典例精析 例6 如图，在 A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路走向是北偏东 48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通. (2)若公路 AB 长 8 km，另一条公路 BC 长 6 km，且从 B 地测得公路 BC 的走向是北偏西 42°，试求 A 地到公路 BC 的距离. 解：(2)∵ ∠ABC=180°-∠ABG -∠EBC =180°-48°-42°=90°， ∴ AB⊥BC， ∴ AB 的长度就是点 A 到直线 BC 的距离. ∵ AB =8 km， ∴ A 地到公路 BC 的距离是 8 km. 典例精析 例7 如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E,BF交CD于点F. (1)求∠1+∠2的度数; 解:(1)因为BF,DE分别平分∠ABD和∠BDC, 所以∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2. 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠BDC=180°, 即2∠1+2∠2=180°,所以∠1+∠2=90°. 典例精析 例7 如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E,BF交CD于点F. (2)若∠2=40°,求∠3的度数. (2)因为∠2=40°, 由(1)知∠1+∠2=90°, 所以∠1=90°-∠2=50°. 因为AB∥CD,所以∠1+∠3=180°, 所以∠3=180°-∠1=130°. 典例精析 例8 【课题学习】平行线的“等角转化”功能.     【问题解决】(1)阅读并补充上述解题过程. 【解题反思】从上面的解题过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决. 如图,已知点A是BC外一点,连接AB,AC, 求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解:过点A作ED∥BC, ∴∠B=　　　　,∠C=　　　　.  又∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°, ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. ∠EAB 　∠DAC 典例精析 例8 【方法运用】(2)如图,已知AB∥CD,∠BEC=80°,求∠B-∠C的度数. (提示:过点E作AB或CD的平行线) (2)如图,过点E作HE∥AB, ∵AB∥CD,∴HE∥CD, ∴∠B+∠BEH=180°,∠HEC=∠C, ∴∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C, ∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°. (3)如图2,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥CD, ∵AB∥CD,∴AB∥ME∥CD∥FN, ∵BF平分∠ABE,CG平分∠ECD, ∴∠ABF=∠EBF,∠ECG=∠DCG. 设∠ABF=∠EBF=α,∠ECG=∠DCG=β, ∵AB∥ME∥CD∥FN, ∴∠BFN=∠ABF=α,∠CFN=∠GCD=β,∠BEM+∠ABE=180°, ∠MEC=∠ECD=2β, ∴∠BEM=180°-2α, ∵∠BEM+∠MEC=∠BEC=80°, ∴180°-2α+2β=80°,∴α-β=50°, ∴∠BFG=∠BFN-∠CFN=α-β=50°. 典例精析 例8 【深化拓展】(3)如图,已知AB∥CD,BF,CG分别平分∠ABE,∠DCE,且所在直线交于点F,∠BEC=80°,则∠F的度数为　　　　.  平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两直线平行，同位角相等. 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 随堂演练 1.如图,直线a∥b,c是截线,若∠1=45°,则∠2= (　　) A.40° B.45° C.50° D.55° 第1题图 第2题图 B 2.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放,若∠EMB=80°,则∠PNM等于 (　　) A.15° B.25° C.35° D.45° C 随堂演练 3. 如图,平行线AB,CD被直线EF所截,FG平分∠EFD,若∠EFD=72°,则∠EGF的度数是 (　　) A.36° B.35° C.72° D.115° A 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=78°,则∠2= (　　) A.22° B.78° C.102° D.122° 第3题图 第4题图 1 B 随堂演练 5.如图，两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截. 若 ∠1 = 52°， 那么∠2 =_______，∠3 =_______，∠4 =________. 52° 128° 52° 6.如图，AB//CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 M，N 两点，将一个含有 45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM = . 30° 随堂演练 7.如图，已知 a//b，那么2 与3 相等吗？为什么? 解：∵ a∥b，(已知) ∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等) ∴ ∠2=∠3.(等量代换) b 1 2 a c 3 随堂演练 8. 如图，已知直线 a∥b，∠3 = 131°，求 ∠1、∠2 的度数. 抄写下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）. 解: ∠3 = 131°（ ）， 又∵∠3 = ∠1（ ）， ∴∠1 = （ ）. ∵a // b（ ）， ∴∠1 +∠2 = 180°（ ）. ∴∠2 = （等式的性质）. 已知 对顶角相等 131° 等量代换 已知 两直线平行，同旁内角互补 49° 随堂演练 9.如图，已知AE//CF，AB//CD，∠A＝40，求∠C 的度数. 解：∵ AE//CF (已知) ∴ ∠A=∠1(两直线平行，同位角相等) 又∵AB//CD (已知) ∴ ∠1=∠C (两直线平行,同位角相等) ∴ ∠A=∠C (等量代换) ∵ ∠A＝40 ∴ ∠C＝40 随堂演练 10.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：∵梯形上、下底互相平行， ∴∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补. 即梯形的另外两个角分别是 80°，65°. ∴∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°， ∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°. A B C D 随堂演练 11.如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，C，D 两点分别落在点 ， 的位置， 交 AF 于点 G，测得∠1=55°，求∠2 的度数. 解：由题意得 AD//BC， ∴∠GFE =∠1，∠DFE +∠1=180°， 又∠1=55°，∴∠GFE =55°， ∠DFE =180° -55°=125°. 由折叠的性质，可得∠D'FE=∠DFE=125°, ∴∠2=∠D'FE-∠GFE=125°- 55°=70° . $$