7.2 余弦函数的图像与性质（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第七章 三角函数 7.2余弦函数的图像与性质 利用五点法画出函数 的图像 1、列表 2、描点、连线 1 0 -1 1 0 请问你能画出函数 的图像吗 思考 ？ 余弦函数的图像 画出函数 的图像 请问余弦函数的图像与正弦函数的图像有什么区别？有联系吗？ 思考 ？ 该曲线为余弦曲线 余弦函数图像与正弦函数图像的关系 观察下列函数 的图像填写下面表格 余弦函数的性质 画出函数 的简图，根据图像讨论函数的性质 例1 （1）求函数 的定义域； （2）求函数 在 的最大值和最小值。 解：（1） 由于2cosx-1≧0，知cosx≧½ 做出y=cosx，x∈[0,2π]的图像可知 所以定义域为： 余弦函数的定义域 求函数 的定义域。 求下列函数的定义域 练习 例2 求下列函数的周期及判断它的奇偶性 解：（1）令 ，则 是周期函数，且周期是2π 所以， 所以， 的周期为4π 余弦函数的周期性与奇偶性 例2 求下列函数的周期及判断它的奇偶性 解：（2）做出 的函数图像，如图所示： 通过观察发现，该函数为偶函数，且周期为π 所以， 的周期为π，且是偶函数 求下列函数的周期且判断该函数的奇偶性 例4 已知函数 ，求 （1）单调递增区间；（2）最大值及相应的x的集合。 解：（1） 余弦函数的单调性及应用 例4 已知函数 ，求 （1）单调递增区间；（2）最大值及相应的x的集合。 解：（2） 例5 求下列函数的值域 解：（1） 余弦函数的值域 例5 求下列函数的值域 解：（2） 例1.(1)下列叙述正确的是(　　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0　 B．1个　 C．2个　 D．3个 答案　D　 解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确． 探究一　正弦函数、余弦函数图象的特征 题型归纳 (2)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x轴有无数多个交点； ③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有(　　) A．0个　 B．1个　 C．2个　 D．3个 答案　D　 解析　如图所示为y＝cos x的图象． 可知三项描述均正确． [方法总结] 1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 例2.用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)． 解　利用“五点法”作图． (1)列表： 描点作图，如图． 探究二　用“五点法”作三角函数图象 [跟踪训练2]　利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 探究三　正弦函数、余弦函数图象的简单应用 [方法总结] 1．求f(x)－Asin x＝0(A≠0)或f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin x或Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数． 2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解． [跟踪训练3]　方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________． 解析　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解． 答案　2 探究四　求正弦函数、余弦函数的单调区间 [方法总结] 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上． 探究五　比较三角函数值大小问题 [方法总结] 比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间． 探究六　正弦函数、余弦函数值域或最值问题 [方法总结] 求正、余弦函数最值问题的关注点 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论． (2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 (2)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 1＋cos x 2 1 0 1 2 描点作图，如图． [方法总结] “五点法”作图的步骤 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象时，可由“五点法”作出，其步骤如下： (1)列表．取x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π. (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线将各点连接成图． 解　(1)取值列表如下： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 (2)描点连线，如图所示． 例3.判断方程eq \f(x,4)－cos x＝0根的个数． 解　设f(x)＝eq \f(x,4)，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图： 由图可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程eq \f(x,4)－cos x＝0有三个根． 例4.求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间． 解　y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))). 令z＝x－eq \f(π,4)，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求sin z的减区间． ∴eq \f(π,2)＋2kπ≤z≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z. 即eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z. ∴eq \f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(7π,4)＋2kπ，k∈Z. ∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋2kπ， \f(7π,4)＋2kπ)) (k∈Z)． [跟踪训练]　求函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间． 解　y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))). 由2kπ＋π≤x－eq \f(π,4)≤2kπ＋2π，k∈Z， 得2kπ＋eq \f(5π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(9π,4)，k∈Z. 即该函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(5π,4)， 2kπ＋\f(9π,4)))(k∈Z)． 例5.比较下列各组数的大小： (1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))与coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))； (2)sin 194°与cos 160°. 解　(1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7,5)π))＝coseq \f(7,5)π， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7,4)π))＝coseq \f(7,4)π， ∵π＜eq \f(7,5)π＜eq \f(3π,2)＜eq \f(7,4)π＜2π，∴coseq \f(7,5)π＜coseq \f(7,4)π， 即coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＜coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))). (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°. 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. [跟踪训练]　比较下列各组数的大小： (1)sin(－320°)与sin 700°；(2)coseq \f(17π,8)与coseq \f(37,9)π. 解　(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－90°，90°))上是增函数， ∴sin 40°＞sin(－20°)，∴sin(－320°)＞sin 700°. (2)∵cos eq \f(17π,8)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,8)))＝cos eq \f(π,8)， cos eq \f(37π,9)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,9)))＝cos eq \f(π,9)， 又函数y＝cos x在[0，π]上是减函数， ∴cos eq \f(π,8)＜cos eq \f(π,9).∴cos eq \f(17π,8)＜cos eq \f(37π,9). 例6.求下列函数的最大值和最小值． (1)y＝3＋2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))； (2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6))). 解　(1)∵－1≤coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1， ∴当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝5； 当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，ymin＝1. (2)∵－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)，∴0≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)， ∴0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1. ∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝2； 当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0时，ymin＝0. $$