黑龙江省大庆市让胡路区2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省大庆市让胡路区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上表示点A的数的相反数是(    ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为(    ) A. B. C. D. 3.在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩.以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为(    ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.在四边形ABCD中，，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(    ) A. B. C. D. 7.已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连结BD，以点D为圆心，BD的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形ABC的边长为(    ) A. 4 B. C. D. 9.已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则t的取值范围为(    ) A. B. 或 C. D. 或 10.在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为______. 12.生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则______. 13.若点在坐标轴上，则m的值是______. 14.辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目.男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目.某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是______. 15.若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______. 16.已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是______. 17.平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第11个图案中，小菱形的个数是______. 18.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，，，则的最小值是______. 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： 20.本小题8分 观察下面的解题过程. 先化简，再求值：，其中. 解：原式① ② ③ 解题过程中开始出现错误的是步骤______填序号，请写出正确的化简过程； 若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的x的值. 21.本小题8分 为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本.求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 22.本小题8分 如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为和，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为，海拔每升高100米，气温会下降约，试求此时热气球体积忽略不计附近的温度．参考数据：，， 23.本小题8分 2022年12月2日是第十一个“全国交通安全日”.某中学为了加强学生的交通安全意识，组织了道路交通安全常识测试，并从七、八年级中各随机抽取了20名学生的成绩，对他们的测试成绩分进行了整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级20名学生的测试成绩分： 70 88 75 95 75 68 69 84 86 72 61 94 99 77 78 68 59 94 88 75 八年级20名学生的测试成绩分： 82 96 85 76 85 88 84 57 63 97 93 68 69 87 91 85 64 85 90 75 【整理数据】 将七、八年级学生的成绩分组整理，得到如下所示的频数分布表： 组别 七年级 1 4 7 a 4 八年级 1 4 2 8 5 【分析数据】 分析以上数据得到以下统计量： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 76 b 八年级 81 c 85 根据以上信息，回答下列问题： ______，______，______； 小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______填“七”或“八”年级的学生； 若该校七年级有500人、八年级有400人，估计该校七、八年级测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 24.本小题8分 如图，已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且点A的坐标为 求k的值； 设点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点C，交双曲线于点 ①当直线CD在点A的右侧，且线段CD的长为3时，求m的值； ②若，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 25.本小题8分 阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 这个中点四边形EFGH的形状是______； 如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明． 26.本小题8分 某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图1所示，成本与销售月份x之间的关系如图2所示图1的图象是线段，图2的图象是抛物线 已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？收益=售价-成本 哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由． 已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？ 27.本小题8分 在中，弦CD平分圆周角，连接AB，过点D作交CB的延长线于点 求证：DE是的切线； 如图1，求证：； 如图2，点P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作于点H，请探究点P在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值. 28.本小题8分 如图，抛物线与x轴交于，两点.点P为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点P作轴，点Q的横坐标为 求a，b的值； 当点Q在抛物线上时，求m的值； 当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围； 过点P作轴，点M的纵坐标为，且点M与点P不重合.连接 MQ，当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：由数轴可知，点A表示，的相反数是2， 故选： 由数轴可知A表示，的相反数是 本题考查的是数轴和相反数，解题的关键是相反数的定义． 2.【答案】C  【解析】解：由题可知， 且， 解得 故选： 根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案． 本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：俯视图为是. 故选： 根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可． 此题考查了简单组合体的三视图，正确理解俯视图为从上方看物体是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：A、原式，错误； B、原式，错误； C、原式，错误； D、原式，正确， 故选： A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断； C、原式利用算术平方根定义化简得到结果，即可做出判断； D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断． 此题考查了完全平方公式，算术平方根，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：A、，， 四边形ABCD是平行四边形， 由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、，， 四边形ABCD是平行四边形， 由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、， ， ， ， ，， 的长为AD与BC间的距离， ， ，， ， 四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意； D、， ，， ， ， ， 四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意； 故选： 由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：，， 函数得图象过第二、三、四象限， ， 函数图象在第一、三象限， 故选项D符合题意． 故选： 根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系即可得出答案． 本题主要考查一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图，过D作于E， 是等边三角形ABC的外接圆， ，， ， 点D是的中点， ， ， ，， ， 阴影部分的面积为， ， ， ， ， ， 故选： 过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出BD，最后利用扇形面积公式求解即可． 本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：由题意，，两点纵坐标相等， 抛物线的对称轴是直线 ，即 抛物线开口向上，，且当时，， 点B、C到抛物线对称轴距离比点近． ①当时，此时， 无解． ②当时，此时， ③当时，， 综上，或 故选： 根据二次函数对称性得到，结合抛物线的性质，点B、C到抛物线对称轴距离比点近，再分三种情况讨论得出t的取值范围即可． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10.【答案】B  【解析】解：连接BD交AC于点E， 四边形ABCD是正方形， ，，，且，， ，，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 四边形PCED是平行四边形， ，， 四边形PCED是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选： 连接BD交AC于点E，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明∽，得，推导出，则，可证明，进而证明≌，则，，所以，则四边形PCED是正方形，所以，，求得，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：439000用科学记数法表示为： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】  【解析】解：过点B作，如图， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 13.【答案】2或  【解析】解：分两种情况讨论： 当点在x轴上时，得：， 解得：； 当点在y轴上时，得：， 解得：， 综上所述，m的值是2或， 故答案为：2或 x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为分两种情况求解即可． 本题考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：把引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳这五项分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有2种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是， 故答案为： 画树状图，共有20种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有2种，再由概率公式求解即可． 本题考查了树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15.【答案】  【解析】解：众数为5， ，b中至少有一个是5， 平均数为5， ， ， ，b都是5， 这组数据的方差为； 故答案为： 先根据这组数的平均数及众数求出a，b都是5，再利用方差公式计算即可． 本题考查了数据的平均数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数及方差的定义． 16.【答案】1  【解析】解：设方程的两个实数根为，， 则， ， 令，即， 解得：，， 由条件可知， 即：， 综上所述： 故答案为： 先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：， 17.【答案】242  【解析】解：四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律可知： 第一个图形有个小菱形； 第二个图形有个小菱形； 第三个图形有个小菱形； ……， 第n个图形有个小菱形； 第11个图形有个小菱形． 故答案为： 根据第一个图形有个小菱形；第二个图形有个小菱形；第三个图形有个小菱形；得出第n个图形有个小菱形，然后求出结果即可． 本题主要考查了图形规律探索，根据已知图形得出一般规律，是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图： ，BD互相垂直， 和为直角三角形，且AD，BC分别为斜边， ，， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点O在线段QS上时，为最小，最小值为线段QS的长， 点P，Q分别为AB，BC的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形PQRS为平行四边形， ，，， ， 四边形PQRS为矩形， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为， 的最小值为 故答案为： 设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，先证，由此得当为最小时，为最小，再根据“两点之间线段最短”得：，再证四边形PQRS为矩形，且，，据此由勾股定理可求出，进而可得的最小值． 此题只要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 19.【答案】解：   【解析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，关键是四则混合运算的应用． 20.【答案】②  【解析】解：依题意，解题过程中开始出现错误的是步骤是②． 原式， 故答案为：②． 令，解得 经检验是原分式方程的解， 被遮住的x的值是 先通分然后进行按照分式运算法则进行化简即可； 由得原式化简为，则建立即可求出x值． 本题考查了分式化简求值等知识内容，解题的关键是掌握分式运算法则的正确运用． 21.【答案】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元．  【解析】设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程并检验即可． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 22.【答案】解：过A作，交CB延长线于点D，如图所示： 则，， 在中，， ， 在中，， ， 由题意得：， 解得：， 此时地面气温为，海拔每升高100米，气温会下降约， 此时热气球体积忽略不计附近的温度约为：， 答：此时热气球体积忽略不计附近的温度约为  【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键． 过A作，交CB延长线于点D，证是等腰直角三角形，则，再由锐角三角函数定义得，则，求出AD的长，即可解决问题． 23.【答案】4  75  85  七  【解析】解：由题意得：， 七年级成绩中，得分为75的人数最多， 七年级的众数为75，即； 八年级20名同学， 中位数为排列后第10，11同学得分的平均数， 由表格可知中位数在这一组， 那么可得第10，11同学得分为85分，85分， 八年级的中位数为85分，即， 故答案为：4；75；85； 七年级的中位数为76，八年级的中位数为85，且小明的成绩能在本年级排到前，而在另外一个年级进不了前， 小明是七年级的学生， 故答案为：七； 该校七年级有500人、八年级有400人，依题意得： 人， 估计该校七、八年级测试成绩不低于 90分的学生共有200人． 根据七年级的总频数为20即可求出a的值，再根据平均数和众数的定义求出b、c即可； 根据七、八年级的中位数结合小明和小强的说法即可得到答案； 分别用500和400乘以样本中七、八年级在90分及以上的人数占比，再求和即可得到答案． 本题主要考查了众数，用样本估计总，频数率分布表，中位数，熟知众数、中位数的定义是解题的关键． 24.【答案】解：点在直线上， ， 点A的坐标为，代入函数中，得 ； ①在直线上，D在上，， ，， 直线CD在点A的右侧，且线段CD的长为3， ， 解得或舍去， ； ②联立方程组， 解得或舍去， 如图， 当时，， 由图象可得，此时当或  【解析】将点A坐标代入直线解析式可求a的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式可求k的值； ①用含m的式子表示出，，再根据列出方程可得m得值； ②联立方程组得出B的坐标，再根据图象可解． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 25.【答案】平行四边形 四边形EFGH为菱形．理由如下： 连接AC与BD，如图2所示： 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， 是的中位线，GH是的中位线，HE是的中位线， ，，，，， ，， 四边形EFGH是平行四边形； ， ， 四边形EFGH为菱形．  【解析】解：中点四边形EFGH是平行四边形； 理由如下：连接AC，如图1所示： ，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， 是的中位线，GH是的中位线， ，，，， ，， 四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形； 见答案 【分析】 连接AC，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论； 连接AC、DB，由等边三角形的性质得出，，，证出，由SAS证明≌，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形EFGH是平行四边形；再得出，即可得出结论． 本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题的关键． 26.【答案】解：当时，，， ， 月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元． 设， 将、代入， ，解得：， ； 将代入， ，解得：， ， 当时，取最大值，最大值为， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大． 当时，， 设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为万千克， 根据题意得：， 解得：， 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．  【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，属于中档题. 找出当时，、的值，二者作差即可得出结论； 观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出、关于x的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题； 求出当时，的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为万千克，根据总利润=每千克利润销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 27.【答案】证明：连接OD，如图， 弦CD平分圆周角， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； 证明：连接DO并延长，交于点F，连接FB，如图， 则DF是的直径， ， ， ， ， ， ， ∽， ，， ，， ， ； 解：的比值不改变，；理由如下： 如图2，在BP上截取，连接AD，DM， 弦CD平分圆周角， ， ， ， ≌， ，， ， 为的中线， ， ， ，   【解析】连接OD，利用圆周角定理，垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； 延长DO，交于点F，连接FB，利用圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 在BP上截取，连接DM，BD，DP，AD，证明≌，进一步可得出，，，，代入所求式子可得结论． 本题属于圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是添加的辅助线构造全等三角形． 28.【答案】解：把，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式； 抛物线的对称轴是： ， 轴，且点Q在抛物上， 点P和点Q关于抛物线对称轴对称， ， 解得：； 的值为； 点P的横坐标为m， 点P关于对称轴的对称点的横坐标为； ①当时， ， 解得：， ； ②当时，只有一个交点，显然不符合题意； ③当时， ， 解得：， ； 或； 当时，点M在x轴下方， 由可知：当时，线段PQ与抛物线有两个交点， 抛物线在内有两部分，对称轴右侧的部分不符合题意； 当时，P与M重合，不符合题意； 当时，抛物线在内只有对称轴左侧的部分，符合题意， ； 当时，点M在x轴上方，同理可求； 的取值范围为或  【解析】把，代入，得到关于a、b的二元一次方程组，求得a和b，即可得到函数的解析式； 根据点P与点Q的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出m的值； 先求出P点关于对称轴的对称点的坐标，线段PQ与图象有两个交点，再结合图象，确定m的取值即可； 分两种情况：和，结合图象求出m的取值范围． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$