精品解析：河南省商丘市夏邑县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，是等式，不是方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．先求解，结合垂直的定义与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，记垂足为， ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 9. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 13. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大． 【答案】15 【解析】 【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解． 【详解】解：设为，面积为， 由题意可得：， 当时，取得最大值， 即时，羊圈的面积最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 14. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 15. 如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可． 【详解】解：∵等腰中， ∴BC=2 ∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1； 所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 所以，． 17. 如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于原点成中心对称的线段； （3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，线段即为所求； （3） 如图，平行四边形即为所求答案不唯一． 【解析】 【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1； （3）根据平行四边形的判定即可画出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 18. 如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． （1）求道路应为多宽？ （2）如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 【答案】（1）道路宽为 （2）总费用为62600元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设道路宽为，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． （2）根据计费方式列式计算即可． 【小问1详解】 解：设道路宽为， 根据题意得： ， 解得：，． ∵， ∴舍去． 答：道路宽为． 【小问2详解】 解：元． 答：总费用为62600元． 19. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当时，_______； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每盒售价定为元时，日销售利润（元）最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解数量关系，掌握二次函数求最值的计算方法是解题的． （1）每盒售价每提高元，日销售量减少盒，得到当时，提高了元，则减少了盒，由此即可求解； （2）根据题意可得提高了元，减少了盒，每盒的利润为元，日销量为盒，由此列式，根据二次函数最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒 ∴当时，日销售量减少盒， ∴（盒）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每盒售价为元，日销售量为盒， ∴提高了元，减少了盒， ∴每盒的利润为元，日销量为盒， ∴， ∵， ∴当时，日销售利润（元）有最大值，最大利润是． 22. 如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； （2）距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 【答案】（1）抛物线解析式为：，水流落地点B到点O的距离为 （2）点E应该与的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握根据顶点坐标设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键． （1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为：，再根据，可得，将代入中，即可得，则抛物线解析式为：，令，即可得的坐标为，则，问题得解； （2）根据题意令，可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 即设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， 将代入中，可得， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为， ∴， 即水流落地点B到点O的距离为； 【小问2详解】 解：根据题意令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为，即， ∴点E应该与的距离为． 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 3. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 13. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大． 14. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 15. 如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于原点成中心对称的线段； （3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 18. 如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． （1）求道路应为多宽？ （2）如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 19. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当时，_______； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ 22. 如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； （2）距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $