精品解析：河南省南阳市桐柏县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

桐柏县2024年春期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程：化成一般形式后，若其二次项系数为1，则它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，2 B. ，2 C. 3， D. ， 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 4. 若，则等于（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A B. C. D. 10. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则______． 13. 如图，点、、分别为三边、、的中点，若的周长为8，则的周长为是_______． 14. 如图，已知中，已知点、分别在边、上，，，若的面积为3，则的面积为______． 15. 方程的根是______． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 按要求解下列方程 （1）； （2）（配方法） （3） （4） 18. 如图，在方格纸中. （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出点坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形； （3）计算的面积. 19. 如图，在中，，，垂足为D． （1）证明：； （2）已知，，求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 21. 如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点． （1）点是三角形的______心，求______，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______； （2）当时，求证：四边形是矩形； 22. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 23. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桐柏县2024年春期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程：化成一般形式后，若其二次项系数为1，则它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，2 B. ，2 C. 3， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：将转化为一般形式为：， ∴它一次项系数和常数项分别是，； 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算：解决问题的关键是熟练掌握二次根式的性质化简二次根式，二次根式加减乘除运算的法则，根据运算法则分别计算即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、与不能合并，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 4. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答． 【详解】解：， ， ， A、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得，故A不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故B符合题意； C、根据，，由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故C不符合题意； D、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作轴于，轴于，根据相似三角形的性质求出，的长，得到点的坐标． 【详解】解：作轴于，轴于， ∵点的坐标是点的坐标是， ∴，， ∵的位似图形为，的边长是的边长的倍 由题意得：相似比为:， ∴， ∵轴于，轴于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 7. 某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：，三月份的产值为：， 根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义条件、解一元一次不等式，根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即． 13. 如图，点、、分别为三边、、的中点，若的周长为8，则的周长为是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为8， ， ， 即的周长为16， 故答案为：16． 14. 如图，已知中，已知点、分别在边、上，，，若的面积为3，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，平行线分线段成比例得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为1， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：12． 15. 方程的根是______． 【答案】1， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，用换元法求解是解题的关键．设，将原方程化为，解这个分式方程求出，再将代回所设方程，最后解关于的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为：， 解得，， 将代入得，，此方程无解， 将代入得，，解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：1，． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先根据二次根式的性质化简，根据二次根式的加减进行计算即可求解； （）先通过分母有理化，平方差公式进行计算，最后合并即可； 此题考查了二次根式的运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 按要求解下列方程 （1）； （2）（配方法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-直接开平方法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法、配方法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， ， 【小问4详解】 解：， ， ， ， 18. 如图，在方格纸中. （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出点坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形； （3）计算的面积. 【答案】（1）作图见解析；.（2）作图见解析；（3）16. 【解析】 【详解】分析：（1）直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'； （3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可． 详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）； （2）如图：△A'B'C'即为所求； （3）S△A'B'C'=×4×8=16． 点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 19. 如图，在中，，，垂足为D． （1）证明：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质， 根据题意得，和，则，即可证明； 由（1）知，则，代入求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 整理，得，解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：有两个实数根， ， ， ； 【小问2详解】 解：，是该方程的两个根， ，， ， ，即， 或1． ； ． 21. 如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点． （1）点是三角形的______心，求______，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______； （2）当时，求证：四边形是矩形； 【答案】（1）重，， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了重心的概念，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定等知识． （1）根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线相等即可． 【小问1详解】 解：∵的中线、相交于点， ∴点是三角形的重心，，， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴ 即重心与一边中点的连线的长是对应中线长的； 故答案为：重，，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，同理， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 22. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设秒后，则：，；，根据三角形面积公式进行计算即可； （2）在中，根据勾股定理求解即可； （3）根据三角形面积公式列出一元二次方程，利用判别式，求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，则：，；． ，即， 解得：或4.（秒不合题意，舍去） 故：1秒后，的面积等于． 【小问2详解】 ∵，则， 即， 解得：（舍）或2. 故2秒后，的长度为5cm． 【小问3详解】 令，即：， ∴整理得：． 由于，则方程没有实数根． 所以，在（1）中，的面积不等于． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，分别用含的式子表示出，是解题的关键． 23. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$