精品解析：陕西麟游县两亭初级中学2025-2026学年第一学期九年级数学第二次作业检测

2025－2026学年度第一学期第二次作业检测 九年级数学学科试题（卷） 一、选择题（每小题4分，共28分） 1. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可； 【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为 所以抛物线 的顶点坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键． 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 3. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可判断． 【详解】A选项，已知二次函数的图象开口向上，故二次函数有最小值为2，正确； B选项，其图象与y轴交于点，错误； C、D选项，其图象的对称轴为y轴，开口方向向上，所以当时，y随x的增大而减小，C、D选项正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质． 4. 若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据自变量的取值范围求得最大值和最小值是解决此题的关键，先把解析式化成顶点式，因为开口向上，距离对称轴越远的数对应的数值越大，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数值为 ， 当时，函数值为， 当时，， ∵当时，y的最大值是n，最小值是m， ∴，， ∴． 故选：D 5. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价． 【详解】解：每顶头盔降价x元，利润为w元， 由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键． 6. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 7. 已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为， ①当0<m<时，恒成立； ②当时，与矛盾，不成立； ③当时，使恒成立， ∴m， ∴m， ， ④当时，与矛盾，不成立； 综上可得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 8. 二次函数的图象经过点，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．把代入得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 【答案】答案不唯一，y=x2-2． 【解析】 【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，-2）得出c=-2，写出一个符合的二次函数即可． 【详解】答案不唯一，如：y=x2-2， 故答案为：y=x2-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键． 10. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为______m. 【答案】1.5 【解析】 【详解】试题解析：在中， 当时,得 即小明的身高为米. 故答案为1.5. 11. 已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 12. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________． 【答案】(－2，0) 【解析】 【详解】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是 ， 设A点坐标为(x,0),由A. B关于对称轴对称得 ， 解得x=−2， 即A点坐标为(−2,0)， 故答案为(−2,0). 13. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 三、解答题（共48分） 14. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 15. 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （1）画出函数图象． （2）求出二次函数的解析式． （3）当时，的取值范围为___________． 【答案】（1）画出函数图象如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 16. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 17. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）点、为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）P点坐标为或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，线段的问题，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式求得点的坐标，再求得直线解析式，设，分两种情况求解即可； （3）根据题意可得，点的横坐标为或4，点的横坐标为或6，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据点在点的左侧分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的解析式为， 当时，， 点坐标为， 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ①当时， 解得：，（舍去）， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得：，（舍去）， 此时点坐标为； 综上，点点坐标为或； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为：， 点、到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， 点的横坐标为或4，点的横坐标为或6， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， 又点在点的左侧， 当坐标为时，点的坐标为， 则， 当坐标为时，点的坐标为， 则， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第二次作业检测 九年级数学学科试题（卷） 一、选择题（每小题4分，共28分） 1. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 4. 若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 6. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 7. 已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 8. 二次函数的图象经过点，则的值是______． 9. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 10. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为______m. 11. 已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 12. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________． 13. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______． 三、解答题（共48分） 14. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 15. 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （1）画出函数图象． （2）求出二次函数的解析式． （3）当时，的取值范围为___________． 16. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 17. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）点、为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $