精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

大庆中学2024-2025学年度上学期期末考试 高二年级数学试题 学校：_________姓名：________班级：________考号：_________ 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知等比数列的公比，则 等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式计算可得； 【详解】解：因为等比数列的公比， 所以． 故选：D 2. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 8 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得，， 当时，， 当时，，此时不能构成等比数列，故舍去， 所以, 故选：B. 3. 已知函数 （，且）的图象恒过定点A，若点的坐标满足，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出对数函数的定点，再根据点在直线上得出，最后应用常值代换结合基本不等式计算即可求出最小值. 【详解】当时，，即. 因为点的坐标满足，所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 故选：C. 4. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由题意直线的方向向量，，则， ，，所以点到直线的距离为 ， 故选：B. 5. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第2022项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】列举出数列的一部分，根据题意求出的前一部分，即可判断出数列是以为周期的周期数列，进而即可求解. 【详解】由题意知：数列为：， 则数列为：， 即数列是以为周期的周期数列，. 故选：A. 6. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出 【详解】解：由椭圆的方程可得， 所以，得 且，， 在中，由余弦定理可得 ， 而，所以，， 又因为，，所以， 所以， 故选：B 7. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题（共18分） 9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D． 【详解】直线，恒过点，所以A正确； 圆的圆心坐标为，，，所以B正确； 圆的圆心坐标为，圆的半径为2． 直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：， 直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确； 当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确． 故选：ABD． 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，得到，，，即可判断A、B、D，再根据的符号即可判断C. 【详解】由题意，，则，， 又是等差数列，所以，故A正确； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 13. 已知数列的前项和满足，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】由公式，将代入即可得结果. 【详解】由题得. 故答案为：10. 14. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得. 【详解】为等差数列，故， 故. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图： （1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数； （2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解； （2）结合组合数，由古典概型计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得： 平均数为 【小问2详解】 由的频率为可得两组人数比为， 故5人中，来自的人数分别为2和3， 所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为, 故2位领队来自同一组的概率为. 16. 已知向量，，函数 ． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值． 【答案】(I) (Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式，再利用三角恒等变形将函数转化为的形式，可求得周期；（Ⅱ）先由所给函数值，代入求得值，再由余弦定理，结合的值，解方程组可得． 试题解析： (I) . 故最小正周期 (Ⅱ），， C是三角形内角， ∴ 即： 即： ． 将代入可得：，解之得：或4, ， 点睛：三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两微量平行或垂直的计算．将向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数，解三角形等知识的运用． 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由，可得即. 因为，所以， 故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边同时取倒数整理后根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）求出的通项公式，再分和分别求. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得， 设数列的前项和为，则. 当时，， ； 当时，， ， 综上所述 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2）（i）, （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）略 19. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点． （1）若直线过的焦点，求的值； （2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出抛物线方程，联立直线与曲线方程，根据韦达定理解出，，即可求解的值； （2）根据已知条件分析出直线的斜率一定存在，由此设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理表示出，，利用两点式求出方程，令，求出，同理可得，结合条件即可求得由此可得直线过定点. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以有，即， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线方程设，； 若直线斜率不存在，则直线为轴，不合题意，所以直线的斜率存在设为， 且直线过的焦点，所以直线的方程为， 联立直线与抛物线方程：，整理有， 根据韦达定理有：，； 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 根据题意可知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 根据题意设，，，，， 联立直线与抛物线有：，整理有：， 根据韦达定理有，， 由题意可知直线斜率存在，若所在直线斜率为， 则与或重合，不合题意；所以所在直线斜率不为， 则方程为，化简得：， 令解得；同理可得； ，，所以， 即，由，有，， 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：直线方程和曲线方程联立，利用韦达定理表示出两根的，，将已知条件归纳成的关系式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024-2025学年度上学期期末考试 高二年级数学试题 学校：_________姓名：________班级：________考号：_________ 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知等比数列的公比，则 等于（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 8 D. 或4 3. 已知函数 （，且）的图象恒过定点A，若点的坐标满足，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 4. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第2022项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 7. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 过点且与圆：相切的直线方程为__________ 13. 已知数列的前项和满足，则_____. 14. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______． 四、解答题（共77分） 15. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图： （1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数； （2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率. 16. 已知向量，，函数 ． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值． 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点． （1）若直线过的焦点，求的值； （2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $