精品解析：浙江省杭州市八县区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（乙卷）

2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试（乙卷）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知且数列各项均为正实数，设甲：为等比数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R且则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，曲线C这种造型被称为双纽线，在纺织中作为花纹得到广泛应用．已知曲线C上的点满足到点与到点的距离之积为4，则曲线C上点的纵坐标的最大值为 （ ） A B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 在数列和中的前n项和则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 36是与公共项 D. 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，则向量在坐标平面上投影向量是___________. 13. 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线在第一象限与交于、两点，且为的平分线，则的值为_________. 14. 定义：已知一个点集及一点P，任取点集中一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到点集的距离，记作现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集则点P的集合所表示几何体的体积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 16 已知函数 （1）若求在点处的切线方程； （2）若的图象关于点中心对称，求的值． 17. 如图，多面体ABCDEF是由一个四棱锥与一个三棱锥拼接而成，底面是棱长为2的菱形 （1）证明：平面平面； （2）若求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 19. 已知数列是斐波那契数列……这一数列以如下递推的方法定义：N数列对于确定的正整数k，若存在正整数n，使得成立，则称数列为“k阶可分拆数列”． （1）已知数列满足若对数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数t的值； （2）已知数列满足若为“k阶可分拆数列”，记正整数m的最小值为求； （3）若数列满足其前n项和为求证：当且时，成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试（乙卷）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及一元二次不等式，求得集合的表示，利用交集，可得答案. 【详解】因为集合， ， 所以. 故选：D. 2. 复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意， ， 所以所求共轭复数是. 故选：B 3. 已知且数列各项均为正实数，设甲：为等比数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由为等比数列，可得通项公式；由为等差数列，可得通项公式，据此可得答案. 【详解】为正项等比数列，设其首项为公比为q 则， 因此是以为公差的等差数列.则甲是乙的充分条件; 反之，乙：为等差数列，即为常数 即，因此为正项等比数列.则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件， 故选：C 4. 一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的概率公式可得. 【详解】由题意，“恰有1支黑色”的概率是 . 故选：A 5. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 已知函数的定义域为R且则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，因为，得到，对表达式中替换为  得到，两式相加整理得到，再通过替换得到函数的周期.令，求得，由求得的值，由周期性即可求出. 【详解】令得， ， 又  ，所以  ①， ①中将替换为  ，得  ②， 由①+②，得  ③， ③中将替换为  ，得  ， ③中将替换  ，得  ， 所以  的周期为6， 令，得  . 由①，易得  ， 同理  ， 所以  ，  . 故选：A 7. 已知则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用切化弦、两角和的正切展开式化简结合选项可得答案. 【详解】 故 . 故选：C. 8. 如图，曲线C这种造型被称为双纽线，在纺织中作为花纹得到广泛应用．已知曲线C上的点满足到点与到点的距离之积为4，则曲线C上点的纵坐标的最大值为 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设双纽线上任意点坐标为，依据题设列式计算化简即可求解. 【详解】设双纽线上任意点坐标为， 则， 两边平方得： 得： 从而当且仅当时有最大值1， 所以y的最大值为1，此时点的坐标为或. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是在计算化简得时巧妙处理得，再对分子进行巧妙配方求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD. 【详解】对于A， ，故A错误；  对于B， ，故B正确；  ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10. 在数列和中的前n项和则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 36是与的公共项 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据迭代可得根据的关系即可求解，即可求解ABC，利用裂项相消法求和即可求解D. 【详解】在数列中 所以当时， 当时，也满足上式，则 则故B错误； 的前项和 当时 当时 当时，也满足上式，则故A正确； 令解得令解得 故36是与的公共项，即C正确； 因为 所以， 因为所以，故D正确. 故选：ACD 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段 的中点为M ，根据圆的对称性可知点 在圆 上， 则 ，坐标原点到直线 的距离为 ， 易知， 对于A:点到直线 距离的最小值为 ，且 ， 所以以为直径的圆与 相离，故A错误； 对于C:， 所以，故C正确； 对于B： ， 所以，故B正确； 对于D：由于 两点在圆 上，且 ，点 到直线 的距离 ， 求直线 上点使得 最小由对称性等同于求直线上一点使得 的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为 ， 则 ，直线  ， 由 ，消去整理得 ， 即 ，即 ， 所以，  ，同理  ， 所以 ，， 当且仅当三点共线时取等号， 所以当时，取最小值， 所以 的最小值为，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，则向量在坐标平面上投影向量是___________. 【答案】，， 【解析】 【分析】 根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可. 【详解】解：根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点，，在坐标平面上的投影坐标， 竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量，，在坐标平面上的投影坐标是：，，. 故答案为：，，. 13. 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线在第一象限与交于、两点，且为的平分线，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，由条件结合抛物线定义证明，，三点共线，联立方程组结合列方程求点的坐标，结合两点斜率公式求结论. 【详解】不妨设点在点的右侧，过点作的垂线，交于点， 连接，，，如下图所示： 设，所以， 因为为抛物线的准线，所以， 所以， 又为平分线，所以， 因为轴， 所以，，三点共线， 所以 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得：， 所以，由， 所以，解得， 所以， 故. 故答案为：. 14. 定义：已知一个点集及一点P，任取点集中一点Q，线段PQ长度最小值称为点P到点集的距离，记作现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集则点P的集合所表示几何体的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由定义得几所构成的几何体，进而求得几何体的体积. 【详解】P点构成的几何体由下列几何体构成： ①如图，为已知矩形，其长 则以矩形为公共面的两个长方体，其长，宽，高分别为1，2，1， 此时两个长方体内的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，两长方体体积和为； ②分别以为轴，底面圆半径为1的两个半圆柱分别在的外侧 此时两个半圆柱表面及内部的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1， 合成一个以底面圆半径为1，高为2的圆柱，体积为； ③分别以为轴，底面圆半径为1的两个半圆柱分别在的外侧 此时两个圆柱表面及内部的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1， 合成一个以底面圆半径为1，高为1的圆柱，体积为； ④分别以为球心，半径为1的球的四分之一， 此时四个四分之一球表面及球内的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1， 合成一个以1为半径的球，体积为; 由①②③④点的集合所表示几何体的体积为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 16. 已知函数 （1）若求在点处的切线方程； （2）若的图象关于点中心对称，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程即得， （2）根据对称可知为奇函数，即可利用定义域对称求解. 【小问1详解】 当时，， 则 ，又 故在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称， 即为奇函数， 则由的定义域关于原点对称，可得，即， 于是，定义域为，故 联立解得； 此时，,符合题意； 所以. 17. 如图，多面体ABCDEF是由一个四棱锥与一个三棱锥拼接而成，底面是棱长为2菱形 （1）证明：平面平面； （2）若求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得和，即可求证平面，根据面面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接 在中， , 平面平面平面， 平面平面 【小问2详解】 由题可得：是平行四边形， 由（1）得平面， 取中点连接，则分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则： 设平面的法向量则, 取，得 平面的法向量 所以平面与平面所成角的余弦值为 18. 已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出，进而得到椭圆的标准方程. （2）（i）利用直线与椭圆的位置关系、直曲联立求出直线联立求出根据切线性质求出最后根据中点性质证明即可.（i i）根据中点性质得到面积关系，根据切线求出再根据面积条件列方程计算. 【小问1详解】 由题意得离心率则椭圆的标准方程为 【小问2详解】 （i）设直线代入到椭圆方程，化简得故 设联立直线AC，BO的方程 切线又则故 所以：即M为线段AC中点.由与中点M，则 （ii）由中点M得将代入直线可得 则即则 故则 19. 已知数列是斐波那契数列……这一数列以如下递推的方法定义：N数列对于确定的正整数k，若存在正整数n，使得成立，则称数列为“k阶可分拆数列”． （1）已知数列满足若对数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数t的值； （2）已知数列满足若为“k阶可分拆数列”，记正整数m的最小值为求； （3）若数列满足其前n项和为求证：当且时，成立． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列新定义计算求解； （2）应用新定义结合分组求和及等比数列求和公式计算； （3）应用裂项相消法及错位相减法计算求解证明即可. 【小问1详解】 由题意得，存在正整数n，使对成立，即， 化简得， 所以当时，存在正整数，使对成立， 当时，若取，则， 等式不成立， 综上； 【小问2详解】 由题意得：对于确定的正整数k，存在正整数n，， 即， 当时，m最小， 所以，则； 【小问3详解】 可得当时 ①， ② ①-②得： 即，当且时成立. 【点睛】关键点点睛：第（3）问的关键是应用错位相减法得出进而化简求解即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $