精品解析：山东省青岛第十七中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年高三开年检测 数 学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 利用微信转账余额提醒这一小程序从数据库中得到某人一天内的网上交易额如下：26，32，7，13，42，114，则该组数据的平均数为（ ） A. 36 B. 39 C. 40 D. 41 2 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A 66 B. 77 C. 88 D. 99 4. 若，，，则（ ） A B. C. D. 5. 设随机变量，若，则（ ） （附：若随机变量，则，） A. 0.1359 B. 0.1456 C. 0.2718 D. 0.3174 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 450 D. 540 8. 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 10. 已知函数，记为的导函数，若，则（ ） A. B. 在区间上有3个零点 C. 在区间上单调递减 D. 11. 如图，在三棱锥的平面展开图中（重合于点P），是边长为4的等边三角形，，于点C，，则在三棱锥中（ ） A. B. 当时，平面平面BDC C. 直线BD与平面PAC所成最大角的正切值为 D. 若四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，．若，则m的取值范围是______． 13. 已知函数若关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 14. 已知椭圆C：左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知偶函数和奇函数均为幂函数，，且． （1）若，证明：； （2）若，，且，求实数k的取值范围． 16. 如图所示，在几何体中，四边形为正方形，，，且，，． （1）证明：平面ABC； （2）若，求平面AEF与平面夹角的余弦值． 17. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于点M（M异于原点），且． （1）求C的方程； （2）设P是C上位于x轴上方的一点，且轴，直线l：与C交于A，B两点，当直线PA，PB关于直线PF对称时，求实数m的值． 18. 在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 19. 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中，，都是虚数单位，称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：，，，，四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为． （1）设，四元数．记表示的共轭四元数． （ⅰ）计算； （ⅱ）若，求； （ⅲ）若，，证明；； （2）设，．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三开年检测 数 学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 利用微信转账余额提醒这一小程序从数据库中得到某人一天内网上交易额如下：26，32，7，13，42，114，则该组数据的平均数为（ ） A. 36 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数的计算公式直接计算即可. 【详解】由题意可知该组数据的平均数为， 故选：B 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，求出，再利用模长的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 得到， 故选：A． 3. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 66 B. 77 C. 88 D. 99 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算出答案. 【详解】由可得， 故． 故选：C． 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数性质证明，，，由此比较三者大小. 【详解】因为函数为增函数，， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 即，，， 所以. 故选：B. 5. 设随机变量，若，则（ ） （附：若随机变量，则，） A. 0.1359 B. 0.1456 C. 0.2718 D. 0.3174 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合正态分布对称性可求，由条件可得，代入参考数据可得结论. 【详解】因为随机变量，所以， 因为，所以， 所以，故， 所以， 所以， 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 7. 寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 450 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 8. 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设出，结合已知条件得出以及，利用中点求出，再利用余弦定理求出的值，然后利用两角和的正切公式和二倍角的正切公式求出直线：，最后再将其与双曲线方程联立，结合两点距离公式即可解出. 【详解】 设，直线的倾斜角为， 则，直线的斜率为， 为的中点，， ，， ，， ，，，， ， 又， ，直线的方程为， 联立，得， ，，即， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两角和的正切公式和二倍角的正切公式求出直线：，最后将其与双曲线方程联立，结合两点距离公式即可解出. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 10. 已知函数，记为的导函数，若，则（ ） A. B. 在区间上有3个零点 C. 在区间上单调递减 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求得值判断A；求出零点个数判断B；利用导数确定单调性判断C；求出的最大值判断D. 【详解】对于A，由函数，求导得， 又，则，解得，A正确； 对于B，，由，得或， 当时，，在区间上有2个零点，B错误； 对于C，，当时，， 则，在上单调递增，C错误； 对于D，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 11. 如图，在三棱锥的平面展开图中（重合于点P），是边长为4的等边三角形，，于点C，，则在三棱锥中（ ） A. B. 当时，平面平面BDC C. 直线BD与平面PAC所成最大角的正切值为 D. 若四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出在三棱锥的示意图，利用线线垂直可得平面，可判断A；当时，则是的中点，可证平面，可判断B；因为，求得的最小值判断C；求得外接球的表面积判断D. 【详解】作出在三棱锥的示意图如图所示： 在展开图中，因为于点C，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 当时，则是的中点，由是边长为4的等边三角形， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确； 因为平面，为直线在平面内的射影直线， 所以为直线与平面所成的角， 因为，所以最小时，最大， 当时，最小，最小值为， 所以直线与平面所成最大角的正切值为，故C错误； 因为为直角三角形，的外心在斜边的中点， 过作平面的垂线，外接球的球心在此垂线上， 又是等边三角形，所以外心是的中心， 过作平面的垂线，外接球的球心在此垂线上，所以两垂线的交点即为外接球的球心， 连接并延长交于，易证为正方形， 由题意易得，又， 设外接球的半径为，则， 所以球O的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于D，关键在于确定外接球的球心，利用球心为过两三角形的外心的两垂线的交点是常用的思路与方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，．若，则m的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意及可得答案. 【详解】因，，，则或. 故答案为：或 13. 已知函数若关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为函数与的图象有四个不同的交点，结合图象可得答案. 【详解】， 当时，， 且当时有最大值1， 当时，， 且当时有最大值2， 若关于x的方程有四个不相等的实数根， 则函数与有四个不同的交点， 画出函数与的图象，结合图象可得 . 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，可得，结合二倍角公式，求出直线的斜率，联立直线、可得点坐标，根据在椭圆上，可得关于的齐次方程，结合的关系，解方程可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 易知，， 设，则，因为，所以. 因为，所以， 所以直线的斜率为：. 所以直线：；直线：. 由得：. 因为点在椭圆：上， 所以， 所以， 又，所以. 所以. 故答案： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的关系，进一步得到直线与的方程，从而得到点坐标. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知偶函数和奇函数均为幂函数，，且． （1）若，证明：； （2）若，，且，求实数k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设，，由，利用指数函数的单调性推出，利用幂函数的奇偶性计算可得，即可证明； （2）由条件求出，由转化为，当时，将其等价转化为，利用导数求得函数的最小值，即得，当时，将其等价转化为，用导数求得函数的最大值，即得，合并即可. 【小问1详解】 设，，则， 因，可得，即，故得， 由可得， 因，故，所以. 【小问2详解】 由，可得，解得， 则，即得， ① 当时，则，， 设，则，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故当时，取得最小值，故； ② 当时，则，， 设，则，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故当时，取得最大值，故. 综上可得，实数k的取值范围为. 16. 如图所示，在几何体中，四边形为正方形，，，且，，． （1）证明：平面ABC； （2）若，求平面AEF与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在正方形中，，，而， 则，即，于是，又， 因此，而平面ABC， 所以平面ABC. 【小问2详解】 由，得，而，平面， 则平面，又平面，则，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 平面的一个法向量为，设平面AEF与平面的夹角为， 因此， 所以平面AEF与平面夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于点M（M异于原点），且． （1）求C的方程； （2）设P是C上位于x轴上方的一点，且轴，直线l：与C交于A，B两点，当直线PA，PB关于直线PF对称时，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用抛物线与直线相交，联立方程组求出点的坐标，再利用即可求出的值，进而求出抛物线的方程； (2)利用已知条件可得到点的坐标，当直线PA，PB关于直线PF对称时，即，联立抛物线与直线的方程，借助韦达定理即可求解. 【小问1详解】 直线与C:交于点M（M异于原点）， 联立，得，或， 点异于原点，， ，，， 抛物线的方程为：. 【小问2详解】 轴，且是上位于轴上方的一点，， 设，， 直线l：与C交于A，B两点， 联立，得， ，，， ， 直线PA，PB关于直线PF对称， ，即， 化简得，即 ，即 ， 化简得，或. 当时，直线：，此时点在直线上，舍去； . 18. 在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 【答案】（1）分布列见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意，X的可能值有0，1，2，3，分别计算它们对应的概率值，列出分布列即得； （2）分析可得，，由之构造数列，判断其为从第二项起构成公比为的等比数列，求出其通项，依题解不等式，利用取对数即得n的最小值. 【小问1详解】 依题意，X可能值有0，1，2，3. 则； ； ； . 故X的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 设乙队在第n次获得发球权的概率为， 则依题意有：，，即， 因，且， 故数列从第二项起构成公比为的等比数列， 则，即， 依题意，由，可得， 两边取常用对数，可得：，即， 因，故， 因，故n的最小值为10. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查随机变量的分布列和概率与数列知识的融合解题.解题的关键在于理解题意推得，，再借助于构造等比数列求出通项，即可解不等式求得. 19. 数学中数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中，，都是虚数单位，称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：，，，，四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为． （1）设，四元数．记表示的共轭四元数． （ⅰ）计算； （ⅱ）若，求； （ⅲ）若，，证明；； （2）设，．证明：． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见详解； （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由的共轭四元数定义求解即可；（ⅱ）再结合题意求解即可；（ⅲ）由纯四元数的定义证明即可. （2）由纯四元数的定义证明即可. 【小问1详解】 （ⅰ）根据四元数的乘法定义，得； （ⅱ）因为，所以. 由（ⅰ）可得，，所以， 同理可验证，， 所以， 因此，. （ⅲ）设，， 则 ， 由（ⅱ），，所以的实部为 ， 所以. 【小问2详解】 设，， 则 ， ， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：定义性问题，关键是理解定义，并且有一定的运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$