精品解析：河南省周口市鹿邑县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期第二次学情分析 九年级数学（人教版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 3、 B. 3、2 C. 3、 D. 3、1 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程x2-k=0有实数根，则( ) A. k<0 B. k>0 C. k≥0. D. k≤0 6. 如图，是的直径，弦于E，若，，则长为（ ） A. 1.5 B. C. D. 2 7. 抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是_______． 13. 如果点，在二次函数图象上，则这个二次函数图象的对称轴是________________． 14. “劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是________，最小值是________． 三、解答题．（共75分） 16. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出各顶点的坐标； （2）请在图中画出绕点O顺时针旋转后的图形； （3）的面积为________． 17. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2），是方程的两实数根，且满足，求k的值． 18. 二次函数的图象经过点，． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）若自变量x的范围为，求函数值y的取值范围． 19. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； （2）求筒车水面的宽度； （3）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 20. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，一天可售出100千克.为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，经调查这种干果每千克降价1元，销售量将会增加10千克； （1）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （2）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 21. 图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，过点A作，垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径以及线段的长． 22. 某水果店在两周内，将标价10元/斤的某种水果，经过两次降价后标价为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求这种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x（x为整数）天的售价、售量及损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤． 时间x（天） 售价（元/斤） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销售量（斤） 储存和损耗费用（元） 设第x（x为整数）天的的利润为y元，求y与之间的函数解析式，并求第几天销售利润最大． 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第二次学情分析 九年级数学（人教版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 3、 B. 3、2 C. 3、 D. 3、1 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质，得到，进而得到，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ， ， ， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程x2-k=0有实数根，则( ) A. k<0 B. k>0 C. k≥0. D. k≤0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于一元二次方程a+bx+c=0，当△=-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当△=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=-4ac0时，方程没有实数根.根据方程有实数根，则△=－4ac≥0，即0+4k≥0，解得：k≥0. 考点：根的判别式 6. 如图，是的直径，弦于E，若，，则长为（ ） A. 1.5 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂径定理和圆周角定理，可得，进而可得：，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，弦于， ， ， 在中，， ， 故选：D． 7. 抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴只有一个公共点可知对应的一元二次方程只有一个实数根，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， 故选：B． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 9. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 10. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明得到，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 故的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质得：点关于原点对称点的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是_______． 【答案】120° 【解析】 【分析】连接OD，由圆的切线性质可知∠ODB=90°，则可得∠DOB=2∠A=60°，从而求解． 【详解】解：连接OD，如图， BD切⊙O于D， ∴∠ODB=90°， ∵∠B=30° ∴∠DOB=60° ∴∠A=30° ∴∠ADB=180°-∠B-∠A=180°-30°-30°=120° 故答案为∶120°． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解题的关键是熟练运用这些性质进行推理和计算． 13. 如果点，在二次函数图象上，则这个二次函数图象的对称轴是________________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据，两点的纵坐相同，可知，关于二次函数的对称轴对称，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该二次函数的对称轴直线， 故答案为：直线． 14. “劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 设平均每年增产的百分率为，列出方程，求解即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为， 则第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为， 则列出的方程是， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是________，最小值是________． 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，正确找出的面积取最值时，点的位置是解题关键．过点作于点，连接，先利用垂径定理和勾股定理可得，再根据一次函数的解析式求出，，利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，则要使的面积最大或最小，只需最大或最小，最后利用三角形的三边关系可得当点共线时，的最大值为，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵的半径为1， ∴， ∵点为弦的中点，， ∴，， ∴， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，解得， ∴在中，，， ∴的面积为， ∴要使的面积最大或最小，只需最大或最小， 又∵，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴的最大值为，最小值为，此时点共线， ∴此时， ∴的最大值为，最小值为， ∴面积的最大值是，最小值是， 故答案为：3，1． 三、解答题．（共75分） 16. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出各顶点的坐标； （2）请在图中画出绕点O顺时针旋转后的图形； （3）的面积为________． 【答案】（1） 如图，即为所求，，，； （2） 如图，即为所求； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质找出各顶点的对定点位置，顺次连接即可，再根据所作图形即可写出各顶点的坐标； （2）根据旋转的性质找出各顶点的对定点位置，顺次连接即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积为：， 故答案为：3． 17. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2），是方程的两实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）4或 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是记住：是一元二次方程的两根时，． （1）证明即可； （2）根据关于k的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴k的值为4或-2． 18. 二次函数的图象经过点，． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）若自变量x的范围为，求函数值y的取值范围． 【答案】（1）和3 （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3） 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数解析式求解，二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解； （2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式； （3）求出当，，时对应的函数值即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴b、c分别为和3． 【小问2详解】 解：∵该二次函数为． ∴该二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，，函数值y的取值范围． 19. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； （2）求筒车水面的宽度； （3）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】（1） （2）2米 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【小问1详解】 解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． 【小问3详解】 解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 20. 某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，一天可售出100千克.为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，经调查这种干果每千克降价1元，销售量将会增加10千克； （1）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （2）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）当每千克干果降价3元时，超市获利2210元 （2）这种干果每千克应降价9元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握价格的变化与销售量的变化之间的关系是解题的关键． （1）降价3元，销售量将会增加30千克，再计算获利即可； （2）每千克干果降价x元，销售量将会增加千克，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（元）． 答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元． 【小问2详解】 解：设每千克干果降价x元，根据题意列方程， ， 整理得：，解得：． 又∵要让顾客获得更大实惠，∴． 答：这种干果每千克应降价9元． 21. 图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，过点A作，垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径以及线段的长． 【答案】（1） 是的切线，理由如下： 连接OD，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）3； 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，即，根据平行线的判定方法得出，根据，得出，根据即可得出结论； （2）设，在中，由勾股定理列出关于x的方程即可；先求出，然后再根据，得出，代入数据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即半径为3； ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据平行线的性质得出． 22. 某水果店在两周内，将标价10元/斤的某种水果，经过两次降价后标价为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求这种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x（x为整数）天的售价、售量及损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤． 时间x（天） 售价（元/斤） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销售量（斤） 储存和损耗费用（元） 设第x（x为整数）天的的利润为y元，求y与之间的函数解析式，并求第几天销售利润最大． 【答案】（1） （2）第10天 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润． （1）设这个百分率是m，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解； （2）根据两个取值先计算：当时和时销售单价，由利润（售价进价）销量费用，列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比． 【小问1详解】 解：设该种水果每次降价的百分率是m， 根据题意得， 解得：，（舍去）， 答：该种水果每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：当时，第1次降价后的价格：， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，（元）， 当时，第2次降价后的价格为8.1元， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，（元）， 综上所述，y与之间的函数关系式为： ∵， ∴第10天时销售利润最大， 答：第10天时销售利润最大． 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图，将以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点作，交的延长线于点，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图，若将以点为旋转中心逆时针旋转，得到的，若，，三点在同一条直线上，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图，在的条件下，将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，连接，求的值． 【答案】（1）菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在和中，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $