精品解析：福建省宁德市部分学校2024-2025学年高三下学期2月开学联考数学试题

高三数学2月联考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 6 D. 3. 在平行四边形中，为线段的中点，且，则（ ） A. 为线段的中点 B. 为线段的中点 C. 为线段的中点 D. 为线段的中点 4. 若，则（ ） A. 为实数 B. C. 为纯虚数 D. 5. 已知为常数，且非常数函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A 3 B. C. 5 D. 8. 下面四个绳结中，可以无损伤地变为下图中的绳结的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线与圆，则（ ） A. 曲线为半个圆 B. 当时，曲线与圆有两个公共点 C. 当曲线与圆相切时， D. 当时，曲线在圆的内部 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱上一点，且，则（ ） A 平面 B. 正方体的外接球的表面积为 C. 四面体的体积的最大值为 D. 当与平面所成角的正切值为2时， 11. 若函数满足对任意恒成立，且，则（ ） A B. C. 可能为对数函数 D. 存在，使得为常数函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数据的极差为3，方差为4，则数据的极差为__________，方差为__________. 13. 已知角的终边经过点，则__________. 14. 在正方形中，，则以点为焦点且经过点的椭圆的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. （1）求； （2）若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； （3）若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 16. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两个不同的点，求； （3）已知点，且直线与只有一个公共点，求点的横坐标. 18. 如图，三棱锥中，平面，且. （1）求 （2）若的面积为，且，证明：平面. （3）在（2）的条件下，过点作底面的垂线，垂足在的内部，且分别为，的中点，平面与平面所成的角为，求. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）若函数恰有8个零点，求的取值范围. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学2月联考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出A，后根据并集定义计算即可. 【详解】，所以. 故选：C. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项特征即可求解. 【详解】的展开式中的系数为, 故选：B 3. 在平行四边形中，为线段的中点，且，则（ ） A. 为线段中点 B. 为线段的中点 C. 为线段的中点 D. 为线段的中点 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 4. 若，则（ ） A. 为实数 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合复数运算法则，解复数方程求的代数形式，再根据复数的相关概念，复数的模的定义，共轭复数的概念依次判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以为实数，. 故选：A. 5. 已知为常数，且非常数函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，建立方程求得参数，分别代入检验，可得答案. 【详解】依题意可得，得，由，得或5， 当时，为常数函数，不符合题意， 当时，，由，则该函数为奇函数， 所以. 故选：A 6. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式结合正弦函数性质建立不等式，得到参数范围即可. 【详解】由题意得，而由二倍角公式得， 得到的值域为， 故由正弦函数性质得，解得，故D正确. 故选：D 7. 抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数性质求出的顶点，利用抛物线的性质求出的准线，再求解距离即可. 【详解】由题意得，由二次函数性质得其顶点为 而，得到，故抛物线的准线方程为， 设抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为， 则，故D正确. 故选：D 8. 下面四个绳结中，可以无损伤地变为下图中的绳结的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过对图中绳结的观察分析，逐个分析各个图中绳结的个数，从而得到结果. 【详解】题图中的绳结是两个相扣的圆环，而（1）与（3）中的绳结由一根绳子扭成， （4）中的绳结由两个没有相扣的圆环构成，都不可能扭成题图中的绳结. （2）中的绳结可以无损伤地变为题图中的绳结.故这四个绳结中，可以无损伤地变为题图中的绳结的个数是1. 故选：A 【点睛】方法点睛，本题是绳结问题，需要仔细观察图形，通过空间想象力去分析对应的情况来得出结果. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线与圆，则（ ） A. 曲线为半个圆 B. 当时，曲线与圆有两个公共点 C. 当曲线与圆相切时， D. 当时，曲线在圆的内部 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的方程求解选项A，结合两圆的位置关系求解选项B和选项C，利用离圆心最远的是点，求解选项D即可. 【详解】由，得， 所以曲线表示圆的上半部分，A正确. 易知圆的圆心为坐标原点，半径为1， 圆的圆心为，半径为. 当时，曲线与圆只有1个公共点，B错误. 因为曲线与圆相切，所以，则，得，C正确. 因为在曲线的所有点中，离圆心最远的是点， 所以当时，曲线在圆的内部，D正确 故选：ACD. 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱上一点，且，则（ ） A. 平面 B. 正方体的外接球的表面积为 C. 四面体的体积的最大值为 D. 当与平面所成角的正切值为2时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用成比例线段性质结合线面平行的判定定理判断A，利用正方体的性质求出外接球半径，结合球的表面积公式判断B，将所求体积用一元函数表示，再利用基本不等式求解最值判断C，利用线面角的几何求法结合勾股定理判断D即可. 【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，，， 因为，所以，如图，连接， 由成比例线段性质得，而，故， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，由正方体性质得正方体外接球的直径， 则外接球的表面积为，故B错误， 对于C，设，则， 且四面体的体积为，故， ， 当且仅当时取等，此时解得，故C正确， 对于D，由正方体性质得平面， 故为直线与平面所成的角， 则，故， 因为，所以，则， 因为正方体的棱长为2，所以，， 故，在直角三角形中， 由勾股定理得，故D错误. 故选：AC 11. 若函数满足对任意恒成立，且，则（ ） A. B. C. 可能为对数函数 D. 存在，使得为常数函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法求解函数值判断A，B，取，检验其符合题意，再求出，判断其函数类型求解C，利用赋值法结合给定条件得到，再找到符合题意的参数值即可. 【详解】对于A，令，得， 故，解得，故A错误， 对于B，令，得， 故，解得，故B正确， 对于C，取，故， 则， ， 而， 即，则符合题意， 故，则可能为对数函数，故C正确， 对于D，令，得， 结合，化简得， 令，当时，， 此时是常数函数，则存在， 使得为常数函数，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题关键是运用赋值法结合给定条件得到，然后找到符合条件的值，得到所要求的结果即可． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数据的极差为3，方差为4，则数据的极差为__________，方差为__________. 【答案】 ①. 6 ②. 16 【解析】 【分析】利用极差和方差的性质直接计算求解即可. 【详解】因为的极差为3，方差为4， 所以数据的极差为，方差为， 故答案：6；16 13. 已知角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义及同角公式计算得解. 【详解】依题意，，则，即， 整理得，而，所以. 故答案为： 14. 在正方形中，，则以点为焦点且经过点的椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求解边长，即可根据椭圆定义可得，焦距，根据离心率公式即可求解. 【详解】如图，过点作，垂足为，连接. 设，则， 所以， 则所求椭圆的离心率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. （1）求； （2）若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； （3）若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正态分布求解相对应的概率即可， （2）利用二项分布求解相对应的概率即可， （3）利用二项分布的数学期望求解相对应的数学期望即可. 【小问1详解】 因为服从正态分布，且， 所以， . 【小问2详解】 因为，所以恰有3罐的净含量不大于250克的概率为（或0.2734375）. 【小问3详解】 依题意可得， 所以 16. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系得到，，再结合等差中项的性质建立方程，求解即可. （2）利用等比数列的定义证明即可. （3）结合（2）求出，再利用等比数列前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 由题意得在数列中， 令，得到，令，得到， ， 因为依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 由题意得首项为， 因为， 所以，故是首项为1，公比为2的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 由等比数列前项和公式得， ， . 17. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两个不同的点，求； （3）已知点，且直线与只有一个公共点，求点的横坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合渐近线方程求，即可得双曲线方程； （2）联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解； （3）联立方程可得，分类讨论二次项系数是否为0，结合根的个数运算求解. 【小问1详解】 依题意设的方程为， 则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 联立方程，消去y得， 则， 设，可得， 所以. 【小问3详解】 由题意可知：直线的方程为，即， 代入的方程得，即. 当时，，方程有两个解，不符合题意. 当，即时，方程， 即，方程只有一个解，符合题意. 故点横坐标为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，且. （1）求. （2）若的面积为，且，证明：平面. （3）在（2）的条件下，过点作底面的垂线，垂足在的内部，且分别为，的中点，平面与平面所成的角为，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直，得到线线垂直，由勾股定理得到线段长； （2）由三角形面积公式求得，由余弦定理求出，利用勾股定理逆定理知道，然后由线线垂直证明线面垂直即可； （3）连接，由勾股定理求得，由余弦定理求得的余弦值，从而求出的正弦值，由和差角公式求出的余弦值，从而求出线段，由（2）可得平面.从而建立空间直角坐标系，得到点的坐标，利用空间向量求出平面的法向量和平面法向量，由空间向量的夹角求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面，且平面， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，因为，所以， 由余弦定理得，所以. 注意到，因此. 且（1）中，因为， 所以平面 【小问3详解】 连接，依题意可得平面，则与均垂直. 因为，所以. 设，由余弦定理计算得， 则， 则 由余弦定理得， 由（2）知，，则两两垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为，则 令，得. 易知平面的一个法向量为， 则. 【点睛】方法点睛，在求面面角的余弦值的题中，一般考虑建立空间直角坐标系，由空间向量来解决此类问题.本题的难点在于如何求出线段长，即可得到点在空间直角坐标系内的坐标.需要将立体几何的题目转变为平面几何，利用解三角形求出夹角和线段长. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）若函数恰有8个零点，求的取值范围. 参考数据：. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，求出切点处的函数值和导函数值，由点斜式写出切线方程； （2）将解析式代入不等式并整理得新的不等关系，构造函数.由函数定点，知函数在处导函数，解得，带回函数并验证成立； （3）由导函数求得函数的单调区间及函数的极值点的值，得出函数大致图形，由函数对应方程的根解得方程的解或或.由函数图像及极值点的值的差可得到对应的取值范围，从而解得的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，所以. 令，则恒成立. 由，可得. ，得. 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即恒成立 故的值为. 【小问3详解】 . 当或时，；当或时，. 可知在和上是增函数，在和上是减函数， 所以的极小值为， 极大值为和，且. 当时，，当时，，当时，. 令，得， 解得. 令，得或或， 即或或. 因为， 且 且恰有8个零点， 所以 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛，本题是导函数的综合运用，在研究复杂不等式或者复杂方程的根的时候，一般需要借助函数的单调性来解决. 第二问研究不等式恒成立，即研究函数的最小值，而我们已经可知找到函数的定点的函数值为0时，那这个定点必为函数极值点，从而求得参数值； 第三问研究函数零点问题，即可利用函数单调性找到函数极值点，从而得到函数大致图像，通过图像找交点个数，从而得到参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$