精品解析：河南省驻马店市遂平县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024―2025学年度第一学期期中学业水平测试试卷 九年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内. 1. 下列根式化简后不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个根．则的值为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2022 D. 2023 4. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A. 9 B. 6 C. 4或9 D. 6或9 8. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，垂足为D．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，于D，平，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次根式有意义的条件是_______． 12. 如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则的值为________． 13. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 14. x、y为方程的两个实数根．若，，求的值_____． 15. 如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为________． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. 计算： （1）； （2）（配方法解方程）． 17. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： （1）若，请将a进行分母有理化； （2）在（1）的条件下，求的值． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 19. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 20. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． （1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 21. 2023年7月，国际大学生体育联合会在成都拉开帷幕，本次运动会以“成都成学梦想”为口号，作为本次运动会吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱，某文创店准备生产并售卖印有“蓉宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价元． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （2）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． （3）在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案． 2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 （1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想． （2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______． （3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024―2025学年度第一学期期中学业水平测试试卷 九年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内. 1. 下列根式化简后不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，先将各选项化简，再判断是否是和是同类二次根式可得答案． 【详解】因为和是同类二次根式，所以A能与合并，所以A不符合题意； 因为和是同类二次根式，所以B能与合并，所以B不符合题意； 因为和不是同类二次根式，所以C不能与合并，所以C符合题意； 因为和是同类二次根式，所以D能与合并，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 3. 若是关于的一元二次方程的一个根．则的值为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】把代入，得到a，b的等式，转化为求代数式的值问题即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 故， ∴ 故选C． 4. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 5. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解； 【详解】解：当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， 不符合； 当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， 不符合； 当时， 是关于的一元二次方程的两根， ， ， ， ； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设点的坐标是， ， ，， 与位似，原点是位似中心，， ，， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 7. 如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A. 9 B. 6 C. 4或9 D. 6或9 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 8. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，则，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含度角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9. 如图，在中，，垂足为D．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据，，推出，证明，根据相似三角形的判定和性质可以求得的长，然后即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10. 如图，中，，于D，平，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，根据余角的定义及等腰三角形的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质结合证明，即可判断①； 根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可判断②； 根据等腰三角形的性质及余角的定义即可判断③； 根据全等三角形的性质即可判断④ 【详解】平分 ， ， ， 在和中 在和中 即，故①正确； ， ，故②正确； ，为的中点 ，， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 和的面积不一定相等， ，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次根式有意义的条件是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为．根据格点和勾股定理先求出、，利用三角形的面积求出、，最后求出的正切． 【详解】解：过点作，垂足为． 由格点三角形可知：， ． ， ． ， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 13. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 14. x、y为方程的两个实数根．若，，求的值_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解（根）的意义，先根据根的意义得，，进而得，，再代入化简得，最后将，整体代入求值即可． 【详解】解：∵x、y为方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ， ∵，， ∴原式． 故答案为：18． 15. 如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质（斜边中线）与垂线段最短，解题关键是连接、，利用斜边中线得、为定值，再结合三点共线时线段和差求最小值． 根据三角形斜边中线的性质求得：由当、N在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3． 【详解】解：如图，连接， ，点M、N分别是、的中点， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故答案为． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. 计算： （1）； （2）（配方法解方程）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）先利用乘法分配率和平方差公式算乘法，最后算减法即可； （2）根据配方法的步骤，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 17. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： （1）若，请将a进行分母有理化； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 19. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， 20. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． （1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）1米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键． （1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 21. 2023年7月，国际大学生体育联合会在成都拉开帷幕，本次运动会以“成都成学梦想”为口号，作为本次运动会吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱，某文创店准备生产并售卖印有“蓉宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价元． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （2）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 【答案】（1）当每件商品降价15元或20元时，该商店每天销售利润为2100元 （2） 店主每天不能获得2200元的利润； 理由：设每件商品降价x元， 当每天获得2200元的利润时，可得， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根， ∴店主每天不能获得2200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设每件商品降价x元，根据商店每天销售利润为2100元列一元二次方程，求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据每天获得2200元的利润列一元二次方程，利用判别式的意义求出此方程无实数根，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件商品降价x元， 由题意得：， 解得：，， 答：当每件商品降价15元或20元时，该商店每天销售利润为2100元； 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． （3）在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形问题，列代数式等知识，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题． （1）根据非负数性质可得、的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出，设，则，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 如图1所示， 过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：时，， 设，则， ， ∴， 解得， ∴或． 23. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案． 2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 （1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想． （2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______． （3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值． 【答案】（1） ，理由为： 过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90° ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN ∴AM＝AN，即EG＝FH， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可． （2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可． （3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN． ∴△ABM∽△ADN， ∴， ∵，，AM＝HF，AN＝EG， ∴， ∴； 故答案为： 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴设， 过点，垂足为，交于点，则， 在中，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $