2.2 立方根 课 件 2024--2025学年湘教版七年级数学下册

2.2 立方根 学习目标 1. 了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根。 2. 能运用类比平方根的学习方法学习立方根以及开立方运算，并能区分立方根于平方根的不同 3.会用计算器计算一个数的立方根。 新知导入 说一说 已知一个正方体的体积为8 cm3，如图2. 2-1所示，则它的棱长是多少？ 由于 = 8，因此体积为8 的 正方体，它的棱长是2 cm。 这个问题的实质就是要找一个数， 使它的立方等于给定的数 新知探究 如果有一个数 b，使得 = a，那么 b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根. a的立方根记作 ，读作“立方根号a”或“三次根号a”. 例如，由于 = 8，因此2是8的一个立方根，即 = 2. 同理，由于=-8，因此-2是-8的一个立方根，即 =-2. 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根. 1.立方根的概念 你能说出平方根的概念吗？ 新知探究 2.开立方运算 例1 分别求下列各数的立方根： （1） 1； （2） ； （3） 0； （4） -0. 064. 解 （1） 由于 = 1，因此 = 1. （2） 由于 = ，因此 = （3） 由于 = 0，因此 = 0. （4） 由于 =-0. 064，因此 =-0. 4 一般地，在目前我们所学习的数中，每一个数有且只有一个立方根. 一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0. 利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值 新知探究 例2 用计算器求下列各数的立方根 （1） 343； （2）-1. 331 2.开立方运算 实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如 ， ，…都是无理数， 但可以用有理数来近似地表示它们. （1） 依次按键： 显示结果：7. 所以∛343= 7. （2） 依次按键： 显示结果： -1. 1. 所以 ∛(-1.331)=-1. 1 新知探究 2.开立方运算 例3 用计算器求 的近似值（结果精确到0. 001） 解 ： 依次按键： 显示结果：1. 259 921 050. 所以 ≈ 1. 260. 你学会开立方了吗？ 新知探究 3.立方根的性质 议一议： 下列等式是否成立？与同学交流你的看法. （1） =a； （2） =a . 解答： （1）对于任意实数a，其立方根为，再对​进行立方运算，即.根据立方根和立方的定义，我们有：=a 所以，一个数a先开立方，然后再立方，最后的结果确实等于a。 （2）对于任意实数b，其立方为，再对求立方根，即。根据立方根的定义，我们有：​=b 所以，一个数b先立方，然后再求立方根，最后的结果确实等于b。 新知探究 3.立方根的性质 总结：立方根的性质 1. 唯一性：对于任意实数a，都存在唯一的实数b，使得b³ = a。这个实数b就是a的立方根。 2. 正数的立方根为正。 3. 负数的立方根为负。 4. 零的立方根为零。 5. 与平方根的关系：立方根和平方根都是实数运算中的基本概念，但它们在性质和运算规则上有所不同。平方根运算的结果可能为正数或零（对于非负数），而立方根运算的结果可能是正数、零或负数（取决于被开方数的符号）。 课堂练习 1.求下列各数的立方根： （1）-1； （2） （3）-0. 125. （1）由于 = -1，因此 =- 1. （2）由于 = ，因此 =. （3）由于 = -0.125，因此=-0.5 课堂练习 2 用计算器求下列各数的立方根： （1）-512； （2） 216； （3）-3. 375. 答案：用计算器求下列各数的立方根： （1）对于 −512，使用计算器得到 =−8 （2）对于 216，使用计算器得到 =6 （3）对于 −3.375，使用计算器得到 =−1.5 3.用计算器求下列各数的近似值（结果精确到0. 001）： （1） （2） （3） 答案：（1）对于 ​，使用计算器得到近似值 1.442 （2）对于 ，使用计算器得到近似值 1.70998，精确到0.001为 1.710 （3）对于 ，使用计算器得到近似值 −1.91293，精确到0.001为 −1.913 课堂练习 课堂总结 1.立方根的概念 2.开立方运算： (1)符号问题： 立方根的结果可以是正数、负数或零，这取决于被开方数的符号。具体来说，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。 (2)唯一性： 对于任意实数a，其立方根是唯一的。这与平方根不同，因为负数没有实数平方根 (3)运算顺序： 在涉及多个运算的表达式中，需要遵循运算的优先级，即先乘除后加减，再进行开方或开立方运算。如果有括号，需要先计算括号内的表达式。 (4)近似计算：对于某些不能精确表示为有理数或整数的立方根，需要进行近似计算。这通常使用计算器或查表来完成。 你学会了吗？ 课堂总结 3.立方根的性质 4.与平方根的区别 你学会了吗？ 课后练习 1.必做题：教材P37页习题——学而时习之 2.选做题：教材P37页习题——温故而知新 $$