1.2.3运用乘法公式进行计算和推理学案 2024—2025学年湘教版七年级数学下册

第一章 整式的乘法 1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能灵活运用平方差公式与完全平方公式解决稍复杂的整式乘法问题. 2.会用平方差公式和完全平方公式解决现实生活中的问题. 学习重点：灵活运用平方差公式与完全平方公式. 学习难点：公式变形过程中添括号、变符号等问题. ► 预习自测 一、知识链接 平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2 . 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2、 自学自测 1．填空． (1)(x＋3)2＝ ；　　　　　　(2)(m－n)2＝ ； (3)(2a＋3b)(2a－3b)＝ ； (4)(x＋3y)(x－3y)＝ ． 2．思考：如何计算(a＋b＋c)(a－b－c)，写出计算过程． ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 平方差公式: (a+b)(a-b)=a²-b² 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 完全平方公式: (a±b)2= a2±2ab+b2 . 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间” 二、合作交流、新知探究 探究：乘法公式 教材第20页 做一做： 运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1) 由于多项式的乘法满足交换律和结合律，结合平方差公式，可得 (x+1)(x2+1)(x-1) = . = . = . 上面的计算运用了乘法交换律,两次运用了平方差公式;公式的应用使计算更简便. 例7： 运用乘法公式计算： （1）(a+b+c)²；（2）(a-b+c)(a+b-c). 解： 【强调】运用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 例8： 运用乘法公式计算： （1）(a+b)² +(a-b)² （2）(a+b)² -(a-b)² 解： 【强调】：遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的. 例题中（2）还有其他解法吗？ 例9： 运用乘法公式计算：(x+y)3 解： 思考： 先填空：（1）152=100×1× +25 (2)252=100×2× +25 (3)352=100× × + . 由此猜想，设十位数字是a ，个位数字是5，则这个两位数可以表示为 ，它的平方可表示为 100× × + . 由完全平方公式1得 （10a+5）2 =（10a） 2 +2⋅10a ⋅5+52=100a2 +100a+25. 又 100a（a+1）+25=100a2 +100a+25， 于是 （10a+5）2 =100a（a+1）+25. 因此，十位数字是a 、 个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与a+1 的积的100倍，再加上25的和. 例如， 852 =100×8×9+25=7 225 【强调】如何运用乘法公式进行计算： 1. 先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 2. 有时会结合其它运算法则； 3. 灵活运用公式进行求值计算. 三、课堂练习、巩固提高 1.运用乘法公式计算： （1）(x-2)(x+2)(x2+4); (2) (x+1)2(x-1)2; (3) (a-b-c)2; (4) (x+2y-1)(x+2y+1)； （5）(2x+y-1)(2x-y+1) . 2.运用乘法公式计算：（3x-2）2-（2x+5）2 3.若a是整数，则(a+3)²-(5a+9)一定能被2整除。试说明理由。 4、 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1.平方差公式: (a+b)(a-b)= a2 -b2 . 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 2.完全平方公式: (a±b)2= a2 ±2ab+b2 . 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 3.遇到多项式的乘法时,我们要先观察式子的特征,看能否运用乘法公式,以达到简化运算的目的.  五、【课后练习】 1.必做题：配套练习T1-6 2.选做题：配套练习T7-8 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$