精品解析：贵州省毕节市织金县2024-2025学年高二上学期期末学业水平检测数学试卷

织金县2024~2025学年度第一学期期末学业水平检测 高二年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于，故，故，则， 故选：A 2. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】由，代入通项公式求得，即可求解； 【详解】因为，代入通项公式可得：， 解得，所以， 所以， 故选：D 3. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数. 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，解得． 故选：B 4. 在三棱锥中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的运算法则，即可求解. 【详解】连接，根据向量的运算法则，可得． 故选：B． 5. 已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 射线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】对变形，得到，从而得到点P的轨迹 【详解】，即，其中 ，，,所以，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：D 6. 已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故选：C. 7. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得到，结合等比数列定义写出通项公式，应用分组求和、等比数列前n项和公式求结果. 【详解】令，则，即， 又，故是首项、公比均为2的等比数列， 所以，即，故且， 所以. 故选：D 8. 过抛物线的焦点F作直线l与抛物线在第一象限交于点A，与抛物线的准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂足为H，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线第一定义得为等腰三角形，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可. 【详解】 如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知， 所以，则, ，， ， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 10. 设为等差数列的前n项和，且．若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式可得单调递增，结合得且，结合单调性以及求和的性质即可求解. 【详解】等差数列的前n项和为，由， 得，即，则单调递增， 由，得且， 因此数列前1012项均为负数，而第1013项以及以后各项都是正数， 的最小值是，无最大值，A错误，B正确； 由，得，C正确； ，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，对A，证明；对B，由求解；对C，将表示为的函数求最值；对D，求两异面直线夹角的范围判断. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，，，设，，则. 对于A：因为，故，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 则平面，所以三棱锥的体积为，故B错误； 对于C：因为， 所以， ， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得. 【详解】由，可得， 所以数列是以2为周期的周期数列，故. 故答案为： 13. 一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为______m． 【答案】 【解析】 【分析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可. 【详解】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率. 【详解】因为点是椭圆内一点，故， 由可得. 为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则， 而，当且仅当三点共线时等号成立， 故，所以， 所以，故. 的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为， 故分别填：，. 【点睛】点与椭圆的位置关系可通过与的大小关系来判断，若，则在椭圆的内部；若，则在椭圆上；若，则在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1），，，（2） 【解析】 【分析】（1）算出即可猜想出数列的通项公式； （2）由（1），通过裂项求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 猜想； （2）由（1）得， 则数列的前项和. 【点睛】本题考查猜想法求数列的通项公式，考查裂项求和法，是基础题. 16. 已知圆：，直线恒过点. （1）若直线与圆相切，求的方程； （2）若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，求（点为圆的圆心）的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在于不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得到直线方程； （2）首先得到直线的方程，从而得到弦长，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 圆：的圆心为，半径， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线和圆相切． 当直线斜率存在时，设方程为，即， 与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 即， 解得，直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 【小问2详解】 直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，， 的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，E为CD的中点． （1）求证：平面PAB； （2）求平面PAD与平面PCD夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，则. 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，而 所以，令，则. 设平面的一个法向量为，而， 所以，令，则， 记平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【小问1详解】 双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. 【小问2详解】 如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）； （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式； （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“（为常数）”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； （2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 【答案】（1），前项和为 （2） 因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列； （3） 因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解； （2）由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论； （3）根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【小问1详解】 因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），所以， 所以的通项公式为， 前项和为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 织金县2024~2025学年度第一学期期末学业水平检测 高二年级数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 3. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 在三棱锥中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 射线 D. 双曲线的一支 6. 已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点F作直线l与抛物线在第一象限交于点A，与抛物线的准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂足为H，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 10. 设为等差数列的前n项和，且．若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则______． 13. 一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为______m． 14. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知圆：，直线恒过点. （1）若直线与圆相切，求的方程； （2）若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，求（点为圆的圆心）的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，E为CD的中点． （1）求证：平面PAB； （2）求平面PAD与平面PCD夹角的正弦值． 18. 已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 19. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． （1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； （2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； （3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $