精品解析：广东省广州市艺术中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

广州市艺术中学 2024学年第一学期高一年级期末考试数学学科试卷 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号（7位学号）、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．本次考试不允许使用函数计算器． 第一部分 选择题（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 函数在下列哪个区间必有零点（ ） A. B. C. D. 3. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知幂函数的图像经过点，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 5. 已知函数，与互反函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知角的终边过点，下列说法正确的是（ ） A. 角的值可能为 B. C. 角的值可能为 D. 10. 已知，且，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列结论正确是（ ） A. 的值域为R B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在内单调递减 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则_____． 13. 函数恒过定点_________. 14. 函数=的单调递增区间是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式： （1） （2） （3）已知，求的值 16. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 17. 已知函数是指数函数. （1）该指数函数图象经过点，求函数的表达式； （2）解关于的不等式：； 18. 设函数且）． （1）若，求的值及的定义域 （2）判断的奇偶性，并给出证明； （3）求在上值域． 19. 已知的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市艺术中学 2024学年第一学期高一年级期末考试数学学科试卷 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号（7位学号）、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．本次考试不允许使用函数计算器． 第一部分 选择题（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求出结果. 【详解】因为. 故选：A. 2. 函数在下列哪个区间必有零点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，且， 所以函数有唯一零点，且零点在区间内. 故选：B. 3. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 4. 已知幂函数的图像经过点，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可设，再利用待定系数法即可求值. 【详解】由是幂函数，可设， 再由其图像经过点，则，解得， 所以，即， 故选：C. 5. 已知函数，与互为反函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数互为反函数求解即可. 【详解】因为与互为反函数， 所以， 所以 故选：B. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的定义域排除B，D，再应用排除A即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，所以排除B，D； 又因，排除A， 故选：C. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合诱导公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数部分图象如图所示，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案. 【详解】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则， 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知角的终边过点，下列说法正确的是（ ） A. 角的值可能为 B. C. 角的值可能为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据角终边所在的点，可求其三角函数值，进而可得角. 【详解】由题意，，， 故，，当时， 故A错误，BCD正确， 故选：BCD 10. 已知，且，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的单调性，即可判断选. 【详解】对于A，由，函数在上单调递减， ，所以，故A正确； 对于B，由A可知，，则，即，故B错误； 对于C，幂函数在上单调递增，，则，故C错误； 对于D，指数函数在上单调递减，，则，故D错误. 故选：BCD 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为R B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在内单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据余弦函数值域即可得结果；对于B：根据对称轴与最值之间的关系分析判断；对于C：代入检验即可；对于D：根据函数周期性分析判断即可. 【详解】因为 对于选项A：由余弦函数值域可知：函数的值域为，故A错误； 对于选项B：因为为最小值， 所以的图像关于直线对称，故B正确， 对于选项C：因为， 所以的一个零点为，故C正确， 对于选项D：因为，则， 因为在内单调递减，所以在内单调递减，故D正确， 故选：BCD． 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 13. 函数恒过定点_________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点 14. 函数=的单调递增区间是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，根据复合函数的法则求解即可. 【详解】由，可得，故函数的定义域为． 令=，则原函数可化为，是关于t的减函数． 又=在上是增函数，在上是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数=的单调递增区间是． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各式： （1） （2） （3）已知，求的值 【答案】（1） （2）4 （3）14 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的性质即可得到答案. （2）利用对数的运算性质求解即可. （3）利用指数幂的运算性质求解即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以，即. 16. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值； （2）利用诱导公式化简，即可求值； （3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 即； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 因为，，所以， 又因为，所以， 则. 17. 已知函数是指数函数. （1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）解关于的不等式：； 【答案】（1） （2）当时，；当时， 【解析】 【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式. (2)分别讨论和，结合指数函数的单调性求解. 【小问1详解】 因为函数是指数函数，且图象经过点， 所以，即， 函数的解析式为； 【小问2详解】 ， 当时，为减函数， 则，解得，解集为 当时，增函数， 则，解得，解集为 18. 设函数且）． （1）若，求的值及的定义域 （2）判断的奇偶性，并给出证明； （3）求在上的值域． 【答案】（1）；定义域为；（2）为偶函数；证明见解析；（3）具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由对数函数的定义，可求出定义域，代入，可求出结果. （2）由偶函数的定义，即可证明. （3）分别讨论和，由对数函数的单调性即可求出值域. 【详解】（1）因为， 由题意得，故． 由，可得， 故函数的定义域为． （2）为偶函数．证明如下： 函数的定义域为 ， 所以函数为偶函数． （3）因为，所以． 当时，的值域为； 当时，的值域为． 19. 已知的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间， （3）2 【解析】 【分析】（1）由周期公式，即可求参数值； （2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间； （3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值. 小问1详解】 由，可得. 【小问2详解】 由（1）知：， 令，，则，， 所以的单调递增区间，. 【小问3详解】 由题设，，故， 所以，故最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $