60分常规题型专练2(专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

60分常规题型专练2 1．(本题满分13分)各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：＋＋…＋＝1－. (1)若{an}为等差数列，求a1； (2)若a1＝－，求{an}的前n项和Sn. 解　(1)由题意＋＋…＋＝1－，所以＋＋…＋＋＝1－，两式相减得＝，化简得an＋2－an＋1＝2，即数列{an}是从第2项起公差为2的等差数列． 若数列{an}是等差数列，则满足a2－a1＝2.令n＝1，有＝1－，即a2＝＋，所以＋＝a1＋2，解得a1＝－2或a1＝，由a2＝a1＋2≠0，可知a1＝. (2)由(1)可知，a2＝＋，又a1＝－，所以a2＝－3，又数列{an}是从第2项起公差为2的等差数列，所以当n≥2时，an＝a2＋2(n－2)＝2n－7，此时，Sn＝a1＋(a2＋a3＋…＋an)＝a1＋＝－＋，整理得，Sn＝n2－6n＋(n≥2)，又S1＝a1＝－也满足上式，所以Sn＝n2－6n＋. 2．(本题满分15分)随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计. 年月 2023年 8月 2023年 9月 2023年 10月 2023年 11月 2023年 12月 2024年 1月 月份编号x 1 2 3 4 5 6 销售金额 y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4 若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)； (2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额． 附：经验回归方程＝x＋，其中，＝－， 样本相关系数 ； 参考数据：xiyi＝2 463.4，＝20. 解　(1)由题可得，＝＝，＝85.4，所以－62＝1＋4＋9＋16＋25＋36－6×＝17.5，所以r＝＝＝≈0.96. (2)＝≈38.3，所以＝85.4－38.3×≈－48.7，所以y关于x的经验回归方程为＝38.3x－48.7.所以预测2024年2月份该公司的销售金额＝38.3×7－48.7＝219.4(万元)． 3. (本题满分15分)(2024·温州市统一测试)如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD翻折到AEFD的位置，得到三棱台ABE­DCF，其中AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD． (1)求证：AD⊥BE； (2)若∠EAB＝，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值． 解　 (1)证明：如图，连接BD，DE，设AB＝2a，则BC＝CD＝a，由题意知，BC⊥CD，所以BD＝＝a，易得AD＝＝a，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，由翻折中的不变性可得，AD⊥DE，又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以AD⊥平面BDE，又BE⊂平面BDE，所以AD⊥BE. (2)由题意及(1)知，BD＝DE＝a，AE＝AB＝2a，又∠EAB＝，所以AB＝AE＝BE＝2a，所以DE2＋BD2＝BE2，所以DE⊥BD．由(1)知，DE⊥AD，又AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD．又AB⊂平面ABCD，所以AB⊥DE.如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，连接EM，又DE∩DM＝D，DE，DM⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM，又AB⊂平面ABE，所以平面DEM⊥平面ABE.过点D作DN⊥EM交EM于点N，连接AN，又平面ABE∩平面DEM＝EM，DN⊂平面DEM，所以DN⊥平面ABE，所以∠NAD是直线AD与平面ABE所成的角．因为平面CDF∥平面ABE，所以直线AD与平面CDF所成角的正弦值等于sin∠NAD．因为DM⊂平面ABCD，所以DE⊥DM，易得DM＝BC＝a，EM＝AB＝a，又DE＝a，所以DN＝＝a，又AD＝a，所以在Rt△ADN中，sin∠NAD＝＝＝，即直线AD与平面CDF所成角的正弦值为. 4．(本题满分17分)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：f(x)是其定义域上的增函数； (3)若f(x)>ax，其中a>0且a≠1，求实数a的值． 解　(1)由题可得，f(1)＝e－1，所以切点为(1，e－1)．又f′(x)＝，所以切线斜率k＝f′(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1＋e－1，即y＝x＋e－2. (2)证明：f′(x)＝，x≠0，令φ(x)＝(x－1)ex＋1，则φ′(x)＝xex.因为ex>0，所以当x>0时，φ′(x)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(－∞，0)上单调递减，所以φ(x)>φ(0)＝0，故f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递增．令m(x)＝ex－x－1，则m′(x)＝ex－1.当x<0时，m′(x)<0，m(x)单调递减，所以m(x)>m(0)＝0，即ex－x－1>0，所以ex－1>x，所以<1.当x>0时，m′(x)>0，m(x)单调递增，所以m(x)>m(0)＝0，即ex－x－1>0，所以ex－1>x，所以>1.所以f(x)是其定义域上的增函数． (3)因为f(x)>ax，所以当x<0时，ex－1<xax；当x>0时，ex－1>xax，令F(x)＝ex－xax－1，所以F(0)＝0，F′(x)＝ex－ax－xaxln a，F′(0)＝0，令h(x)＝ex－ax－xaxln a，则h′(x)＝ex－axln a－axln a－xaxln2a，所以h′(0)＝1－2ln a．若h′(0)>0，解得0<a<且a≠1，则存在正数δ，当x∈(－δ，0)时，h′(x)>0，F′(x)单调递增，所以F′(x)<F′(0)＝0，此时F(x)单调递减，F(x)>F(0)＝0，这与当x<0时，F(x)<0矛盾，舍去．若h′(0)<0，解得a>，所以存在正数φ，当x∈(0，φ)时，h′(x)<0，F′(x)单调递减，所以F′(x)<F′(0)＝0，F(x)单调递减，所以F(x)<F(0)＝0，这与当x>0时，F(x)>0矛盾，舍去．所以h′(0)＝0，所以a＝.当a＝时，证明当x>0，ex－1>x，即证－>x，即证ex－e－x>2x，x>0.令g(x)＝ex－e－x－2x，则g′(x)＝ex＋e－x－2>2－2＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>0.同理可证：当x<0时，ex－e－x<2x，即当x<0时，ex－1<x.综上所述，实数a的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$