培优微专题 3 立体几何中的截面、动态问题(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

培优微专题 3．立体几何中的截面、动态问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　截面问题 角度1：多面体的交线问题 例1　(1)在图①中作出长方体ABCD­A1B1C1D1过棱上的点E，F，G的截面． (2)在图②中作出长方体ABCD­A1B1C1D1过点E，F，G的截面，其中点E，F为棱上的点，点G在长方体内部． 解　(1)解法一(平行线法)：连接GF，根据题意可以确定线段GF是长方体表面的截线段，先在与线段GF所在平面平行的平面BCC1B1中过点E作EH∥GF与BB1交于点H，然后再连接GH，EF，则平面EFGH即为所求截面，如图①. 解法二(相交线法)：连接FE并延长与AB的延长线相交于点H，连接GH与线段BB1交于点J，连接GF，JE，则平面EFGJ即为所求截面，如图②. (2)过点G作GH⊥平面ABCD于点H，连接GE，HB并延长相交于点I，再连接IF与BC交于点J，连接JE并延长与C1B1的延长线交于点K，在平面A1B1C1D1中过点K作与IF平行的直线与A1D1，A1B1分别交于点M，N，连接NE，FM，则平面MNEJF即为所求截面，如图③. 训练1　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝2，过点A作平面α与A1C垂直，α截四棱锥A1­ABCD的截面面积为 . 解析　 如图，连接B1D1，AB1，AD1，设A1C与平面AB1D1的交点为K，易知平面AB1D1为截面α，设AB1与A1B交于点M，连接MK，则A1C⊥MK，易得＝，解得MK＝×＝，又易知AB1⊥平面A1BC，故AB1⊥MK，设A1D与AD1交点为N，连接KN，AK，则四边形AMKN为α截四棱锥A1­ABCD所得截面，易知KM＝KN，AM＝AN，又KA＝KA，则△KMA≌△KNA，因此所求截面面积为2×××＝. 角度2：球的截面问题 例2　已知三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝，AC＝2，点E，F分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点G，则过点G的平面α截三棱锥S­ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是 . 解析　因为AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，又因为SA⊥平面ABC，故三棱锥S­ABC的外接球球O的半径R＝＝， 取AC的中点D，连接BD，BD必过点G，如图所示，因为AB＝BC＝，故DG＝BD＝，因为OD＝，故OG2＝2＋2＝，则过点G的平面截球O所得截面圆的最小半径r2＝2－＝；过点G的平面截球O所得截面圆的最大半径为球半径R＝，故截面面积的最小值为，最大值为，故截面面积的取值范围是. 若用一个平面α去截半径为R的球O，得到的截面是一个圆面． (1)若平面α过球心，则截面圆是以球心O为圆心的圆面． (2)若平面α不过球心，如图所示，小圆圆心为O′，则OO′⊥α，记OO′＝d，则小圆半径r＝. 类型2　动态问题 角度1：动点的轨迹问题 例3　(多选题)(2024·南京调研)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面上一动点，则下列说法正确的是(　ACD　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 解析　 如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y,0)，则＝(0,4,0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为，所以|cos〈，〉|＝cos，所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．故选ACD. 定性的研究动点的轨迹要利用线面平行、垂直的性质定理，结合圆锥曲线等的定义，确定动点的轨迹． 角度2：轨迹的度量问题 例4　(多选题)(2024·郑州市质量检测)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1＝2，点P为线段BC1上一动点，则下列说法正确的是(　ABD　) A．直线A1P∥平面ACD1 B．三棱锥P­ACD1的体积为 C．三棱锥A­CC1D1的外接球的表面积为 D．直线A1P与平面BCC1B1所成角的正弦值最大为 解析　对于A，如图，连接A1B，A1C1，因为ABCD­A1B1C1D1为长方体，所以A1B∥D1C，又D1C⊂平面ACD1，A1B⊄平面ACD1，所以A1B∥平面ACD1，同理可得A1C1∥平面ACD1，又A1B∩A1C1＝A1，A1B，A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以A正确．对于B，因为BC1⊂平面A1BC1，所以BC1∥平面ACD1，又点P为线段BC1上的动点，所以点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，连接BD1，则VP­ACD1＝VB­ACD1＝VD1­ABC＝××2×2×1＝，所以B正确．对于C，三棱锥A­CC1D1的外接球即长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥A­CC1D1外接球的表面积S＝4π×2＝9π，所以C错误．对于D，A1B1⊥平面BCC1B1，连接B1P，则∠A1PB1即直线A1P与平面BCC1B1所成的角，sin∠A1PB1＝＝，且A1P2＝A1B＋B1P2＝4＋B1P2.当B1P⊥BC1时，B1P的值最小，且最小值为＝，所以A1P的最小值为＝，所以∠A1PB1的正弦值最大为＝，所以D正确．综上，选ABD. 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是 (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． 训练2　(2024·潍坊市模拟) 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是(　B　) A． B． C． D．1 解析　 如图，连接DC1，DB，AC，则DB⊥AC，AA1⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，所以BD⊥A1C，同理可得BC1⊥A1C，又BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BDC1，所以A1C⊥平面BDC1.因为A1C⊥DP，所以DP⊂平面BDC1，又P∈截面A1C1B，所以点P在平面BDC1与截面A1C1B的交线段上，即点P的轨迹为线段C1B，又C1B＝，所以点P的轨迹长度为.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$