规范答题3 立体几何(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

规范答题3　立体几何 考题　 (2024·新课标Ⅱ卷)(15分)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. (1)证明：EF⊥PD； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 规范解答 得分关键 解　(1)证明：由题可得，AE＝AD＝2，AF＝AB＝4，又∠BAD＝30°，所以由余弦定理，得EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF·cos 30°＝4，故EF＝2. 又①(3分) 由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥ED，又ED∩PE＝E，ED，PE⊂平面PED，所以②(5分) 又PD⊂平面PED，所以EF⊥PD.(6分) (2)如图，连接CE，由题可得，DE＝3，CD＝3，∠CDE＝90°，故CE＝＝6. ③(8分) ④ 连接PA，则＝(0,3，－2)，＝(3,0,0)，＝(0,2，2)，＝(2,2，0)．(10分) ⑤(11分) 设平面PBF即平面PAF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则可取n2＝(，－1,1)．(12分) ⑥(14分) 故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为＝.(15分) ①证明EF⊥AE. ②证明EF⊥平面PED，进而得到EF⊥PD. ③证明PE⊥平面ABCD. ④建立空间直角坐标系． ⑤求平面PCD的法向量，同理可求平面PBF的法向量． ⑥求两平面的夹角余弦，从而可求正弦值. 易失分点 a.第(1)问中不能应用余弦定理求EF长，再由勾股定理证明EF⊥AE. b．第(2)问中不证PE⊥平面ABCD，凭空建立空间直角坐标系，造成理论上的缺失． c．平面PCD与平面PBF的法向量计算出错． d．两法向量n1 ，n2的夹角公式是余弦公式，不是正弦公式. 试题评价：本题考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力以及数学运算能力等核心素养．本题的关键是有关垂直的证明，第(1)问实质是证明EF⊥平面PED，第(2)问证明PE⊥平面ABCD，出现两两垂直的三条直线PE，EF，ED，以便于建立空间直角坐标系．本题比较常规，但是图中数量关系、位置关系较多，需要头脑清晰，具有较强的空间想象能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$