培优微专题 2 数列的放缩策略(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

培优微专题 2．数列的放缩策略 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 本节内容主要目标是聚焦于已知数列的通项，如何对和式进行放缩，这里面有两个主要的方面：一个是先求和再放缩，这种问题较简单，关键是准确求和．另一个则是先放缩再求和，这一个问题就需要一定的技巧性，根据过往的高考题与模考题，我们将其总结为具体的两个方面：1.放缩成裂项结构再求和.2.放缩成等比结构再求和．另外也借助函数单调性放缩．具体如下： 策略1　先求和再放缩 先求和再放缩实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，下面通过例子简单说明． 例1　已知等比数列{an}(n∈N*)为递增数列，且a＝a6,5a3＝2a2＋2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn<6. 解　(1)由题意，解得或因为等比数列{an}(n∈N*)为递增数列，所以所以an＝2×2n－1＝2n. (2)证明：由(1)知数列{bn}的前n项和为：Sn＝＋＋…＋　①，Sn＝＋＋…＋＋　②，两式相减可得：Sn＝1＋2－＝1＋2－＝3－，所以Sn＝6－，又因为n∈N*，所以>0，所以Sn＝6－<6. 策略2　放缩通项再求和 常见的放缩技巧： (1)<<， 其中n≥2，n∈N，可称为“进可攻，退可守”． (2)<＝＝. (3)<＝＝＝2. (4)＝，从而有：2(－)＝<<＝2(－)． 对于还可放缩为<－(n≥2，n∈N*)． (5)＝<＝＝－(n≥2，n∈N*)． 角度1：放缩成裂项结构再求和 例2　设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<. 解　(1)因为＝an＋1－n2－n－，n∈N*.所以当n＝1时，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2又a1＝1，所以a2＝4. (2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n,2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1.故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2. (3)证明：当n＝1时，＝1<；当n＝2时，＋＝1＋＝<；当n≥3时，＝<＝－，此时＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<，综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<. 角度2：放缩成等比数列再求和 例3　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<. 解　(1)证明：由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝. (2)证明：由(1)知＝，因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝＝<.所以＋＋＋…＋<. 注：此处3n－1≥2×3n－1便是利用了重要的恒等式：n次方差公式：an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)． [说明]　利用糖水不等式亦可放缩：<＝，请读者自行尝试． 策略3　利用函数单调性放缩 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，且3an＝2(Sn＋2n)，n∈N*. (1)证明：数列{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝log3，证明：·…>. 解　(1)因为3an＝2(Sn＋2n)　①，当n＝1时3a1＝2(S1＋2)，解得a1＝4，当n≥2时3an－1＝2(Sn－1＋2n－2)　②，①－②得an＝3an－1＋4，所以an＋2＝3(an－1＋2)，所以{an＋2}是以首项为6，公比为3的等比数列，即an＋2＝6×3n－1，所以an＝6×3n－1－2. (2)由(1)可得bn＝log3＝log3＝log33n＝n，即证：(1＋1)…>.令f(n)＝，则＝，因为(2n＋2)2>(2n＋1)(2n＋3)，所以f(n＋1)>f(n)，所以f(n)单调递增，即f(n)>f(1)＝>1，即…>. [说明]　本题无法放缩通项，也不能求和，所以换个角度，构造函数用单调性解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$