第2讲 专项2 数列求和(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

专项2　数列求和 考向突破·抓重点 考向一　分组求和 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2. (1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝1，b2＋b3＝0，求数列{an·bn}的前2n项和T2n. 解　(1)由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，所以an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n. (2)设等比数列{bn}的公比为q，q≠0，则b2＋b3＝q＋q2＝0，所以q＝－1，所以bn＝(－1)n－1，所以an·bn＝2n·(－1)n－1，所以T2n＝2－4＋6－8＋…＋2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1＝(2－4)＋(6－8)＋…＋[2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1]＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＝－2n. 分组求和的基本思想是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为若干个可求和的数列的和或差，然后再求和． 考向二　裂项相消求和 例2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n≥2时，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1，即an＋1＝2an.又因为{an}是等比数列，所以q＝2.由题意，a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知，Sn＝＝2n－1，所以bn＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－. 裂项常见形式 (1)分母两项的差等于常数 ＝；＝. (2)分母两项的差与分子存在一定关系 ＝－；＝. (3)分母含无理式 ＝－. 考向三　错位相减求和 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nan＋1＝2Sn＋n(n∈N*)． (1)求证：数列为常数列； (2)设Tn＝＋＋＋…＋，求Tn. 解　(1)证明：由nan＋1＝2Sn＋n，当n＝1时，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋n－1，两式相减得nan＋1－(n－1)an＝2an＋1，即nan＋1＝(n＋1)an＋1，所以n(an＋1＋1)＝(n＋1)(an＋1)，所以＝.当n＝1时，＝2＝，上式也成立，所以数列为常数列． (2)由(1)得＝＝2，所以an＝2n－1.所以Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋2×－＝＋2×－，所以Tn＝－－. 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 学科网（北京）股份有限公司 $$