培优微专题 1“爪型”三角形及应用(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

培优微专题 1．“爪型”三角形及应用 如图所示的△ABC中，从其中一个顶点A出发引一条射线与BC所在直线交于点M，这样，就得到一个爪字型的△ABC，由于线段AM的引入，结合正余弦定理，会产生很多有趣的结论和问题．因此以“爪型”三角形为背景的问题是高考或者模考中的常考题型． “爪型”三角形的基本几何特征：∠AMB＋∠AMC＝π.其他几何性质会随着线段AM的不同特点而定． 类型1　中线问题 例1　(2023·新课标Ⅱ卷·17节选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.若b2＋c2＝8，求b，c. 解　 解法一：(借助向量工具) 如图，因为S△ABC＝bcsin∠BAC＝，所以sin∠BAC＝.由题意得＝(＋)，||＝1，所以4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC．又因为b2＋c2＝8，所以cos∠BAC＝.因为sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，所以bc＝4，所以b＝c＝2. 解法二：(利用背靠背角的互补关系)如上图，因为cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，所以＋＝0，所以b2＋c2＝2(AD2＋BD2)，所以BD＝DC＝.因为S△ADB＝S△ABC＝，所以sin∠ADB＝1，所以∠ADB＝，所以由勾股定理，得b＝c＝2. 训练1　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则△ABC的面积为(　B　) A． B． C． D． 解析　＝(＋)⇒＝·⇒AB＝5，故S△ABC＝AB·AC·sin 60°＝×5×3×＝.故选B. 类型2　角平分线问题 例2　(2024·华南师大附中三模)在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分线交边BC于点D. (1)证明：BC＝3CD. (2)若AD＝AC，且△ABC的面积为6，求BC的长． 解　(1)证明：设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝π－β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得＝，＝.所以＝，即＝，又AB＝2AC，故BD＝2CD，所以BC＝3CD. (2)设AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t. 由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得·t·2t·sin 2α＝·t·t·sin α＋·2t·t·sin α，所以4sin αcos α＝3sin α.因为sin α≠0，所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又0<2α<π，所以sin 2α＝＝.所以S△ABC＝6＝·t·2t·sin 2α＝t2，所以t2＝16，所以BC2＝t2＋4t2－2×t×2t×cos 2α＝t2＝×16＝72，所以BC＝6. (1)第(1)问实际是角平分线定理的推导过程，也可利用面积法求证：设△ABC中BC边上的高为h，∠BAD＝∠CAD＝α，则＝＝，即＝＝. (2) 训练2　(1)(2024·浙江台州中学模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，且AD＝，则BC＝(　A　) A．2 B．2 C． D． 解析　如图所示，设∠BAD＝∠CAD＝θ，则S△ABD＝×2×sin θ，S△ACD＝×4×sin θ，S△ABC＝×2×4sin 2θ，因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以sin θ＝sin 2θ，即sin θ＝2sin θcos θ，因为θ∈，所以sin θ>0，可得cos θ＝，所以θ＝，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝22＋42－2×2×4cos＝28，所以BC＝2.故选A． (2)在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，已知AD＝2，BC＝5，＝，则AC＝ 3 . 解析　由角平分线的性质知＝＝，又BC＝5，所以BD＝2，DC＝3.设AB＝2m，AC＝3m(m>0)，因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则＝－，所以＝－，整理得30m2＝90，解得m＝，所以AC＝3. 类型3　高线问题 例3　在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　C　) A． B． C．－ D．－ 解析　 如图，作AM⊥BC于点M，在直角三角形ABM中，取AM＝BM＝1⇒AB＝，再由题意，得BC＝3，故AC＝，最后由余弦定理可得：cos A＝－.故选C． 训练3　△ABC中，BD是AC边上的高，A＝，cos B＝－，则＝(　A　) A． B． C． D． 解析　设∠DBC＝θ，则B＝∠ABD＋∠DBC＝＋θ.由cos B＝cos＝－，可得cos θ＝，tan θ＝3，设AD＝BD＝1，则DC＝3，所以AC＝AD＋DC＝4，所以＝.故选A．(本题也可以利用S△ABC＝S△ABD＋S△BDC求解) 类型4　其他问题 例4　已知在△ABC中，－sin A＝0. (1)求A的值； (2)若点D是边BC上一点，BD＝2DC，△ABC的面积为.求AD的最小值． 解　(1)因为－sin∠BAC＝0，所以＝sin∠BAC，又∠BAC∈(0，π)，所以∈，所以sin>0，则sin＝2sincos，所以cos＝，所以＝，∠BAC＝. (2)因为BD＝2DC，所以＝＋.因为△ABC的面积为，所以AB·AC·sin∠BAC＝，所以AB·AC＝4，则AD2＝||2＝2＝2＝2＋2＋·＝AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC－AB·AC＝，当且仅当AB＝2AC，即AB＝2，AC＝时取“＝”号，所以AD的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$