第4讲 平面向量、复数(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第4讲　平面向量、复数 备考领航·明方向 [高考感悟] 一、考题考法 考题1　(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　D　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 本题考查平面向量的数量积的坐标运算，是对数量积知识的基本考查，是考生的得分题． 解析　解法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2.故选D. 解法二(坐标法)：因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0,1)＝(2，x)－(0,4)＝(2，x－4)．因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 考题2　(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　B　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 本题考查平面向量的线性运算．只要掌握平面向量的加法，减法，数乘运算，很容易得分，属于送分题． 解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 考题3　(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　C　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 本题考查复数代数形式的四则运算，与实数方程类似，可以通过复系数方程求解． 解析　因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C． 二、考情感悟 1．平面向量主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，夹角及模的有关问题，难度中低档； 2．复数主要考查复数的四则运算、几何意义及模、共轭复数的性质等内容． [主干提炼] 一、平面向量 1．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．常用结论 (1)向量a在向量b上的投影向量等于·. (2)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (3) 极化恒等式：在△ABC中，M为BC中点，则·＝2－2＝2－2. 二、复数 1．复数的四则运算 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R) 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)＝i，＝－i. (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 3．复数模与共轭复数的性质 (1)|z|＝||； (2)|z|2＝z·； (3)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，||＝. 考向突破·抓重点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一　平面向量的运算 角度1：基底法 例1　如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AB＝，AD＝1，∠BAD＝45°，则·＝(　C　) A． B．－ C． D．－ 解析　在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝1，∠BAD＝45°，DF∥AB，可得△DEF∽△BEA．由E是线段OD的中点，可得DF∶BA＝DE∶BE＝EF∶AE＝1∶3，＝＋＝＋，＝＝(－)，则·＝·(－)＝＝×＝.故选C． 选取一个合适的基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解． 训练1　(2024·湖南部分名校联盟5月冲刺) 如图所示，在△ABC中，已知AC＝3，向量在向量上的投影向量为，点D是BC边上靠近C的三等分点，则·＝(　C　) A．3 B．6 C．7 D．9 解析　选，作为一组基底，根据投影向量的计算公式，可知向量在向量上的投影向量为·，由题意知·＝，于是＝1，即·＝3.又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·＝·＋·＝×3＋×9＝7.故选C． 角度2：坐标法 例2　(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点， CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为 － . 解析　 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，E，所以＝，＝(－1,0)，＝(0,1)，因为＝λ＋μ，所以＝λ(－1，0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以＝(a,3－3a)，＝，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 训练2　(多选题)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，＝λ＋μ，则(　BCD　) A．λ的最大值为 B．μ的最大值为1 C．·的最大值是2 D.·的最大值是＋2 解析　 如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，A(－1,0)，D(－1,2)，E(1，1)，设∠BOP＝α，则P(cos α，sin α)，＝(cos α＋1，sin α)，＝(0,2)，＝(2,1)，由＝λ＋μ，得2μ＝cos α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]，λ＝(2sin α－cos α－1)＝sin(α－θ)－≤，其中tan θ＝，故A错误；α＝0时μmax＝1，故B正确；·＝2sin α≤2，故C正确；·＝sin α＋2cos α＋2＝sin(α＋φ)＋2≤＋2，其中tan φ＝2，故D正确．故选BCD. 角度3：投影法 例3　(2024·豫南名校三模)如图，这是用来构造无理数，，，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内(包含边界)一点，则·的取值范围是(　D　) A． B．[－1，] C． D． 解析　 如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，所以CE＝.由图可知当P在线段AB上时，||cos∠PCB有最大值1，当P在点D处时，||cos∠PCB有最小值－，又||＝1，所以·的取值范围是.故选D. 数量积·＝||cos∠PCB·||，所以求·的取值范围就是求||cos∠PCB的范围，求||cos∠PCB的范围往往根据图形的边界和顶点得到． 训练3　已知点O为△ABC的外接圆圆心，且·＝2·，则的值为(　C　) A． B． C． D．2 解析　 如图，·＝||·||·cos∠BAO，·＝||·||cos∠CAO，由O为△ABC的外心，得向量在向量方向上的投影向量的模为||，向量在向量方向上的投影向量的模为||，即||·cos∠BAO＝||，||·cos∠CAO＝||，从而||2＝2×||2，即||＝||，所以＝，故选C． 考向二　复数的运算 例4　(1)(2024·重庆市调研抽测)若复数z满足z·(1＋i)＝2－i，其中i为虚数单位，则z＋等于(　C　) A．i B．－i C．1 D．－1 解析　由z·(1＋i)＝2－i，得z＝＝＝，则＝，所以z＋＝1.故选C． (2)(多选题)(2024·郑州二模)在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是(　AD　) A．|z1|＝|z2|＝1 B．z1·z2＝|z1|2 C．向量对应的复数是1 D．||＝|z1－z2| 解析　因为z1＝－i，则其对应的点为A.z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B.对于A，|z1|＝＝1，|z2|＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝＝2－2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝(－1,0)，则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，||＝1，z1－z2＝1，所以||＝|z1－z2|，所以选项D正确．综上，选AD. (1)复数加法、减法、乘法运算类似于多项式的运算，复数除法运算时，分母要乘以其共轭复数再进行运算； (2)记住复数模与共轭复数的性质，这在解题中使用很方便． 训练4　(1)(2024·福建适应性测试)若复数z满足(1－i)z＝2i，则z·＝(　D　) A．－2 B．0 C． D．2 解析　由题意知，z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，z·＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，故选D. (2)(多选题)(2024·九省联考)已知复数z，w均不为0，则(　BCD　) A．z2＝|z|2 B．＝ C．＝－ D．||＝ 解析　由复数模的性质：对于A，|z|2＝z·≠z2，A不正确；对于B，＝＝，B正确；对于C，＝－，C正确；对于D，||＝正确(可设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)进行证明)．故选BCD. 真题体验·练能力 　　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　C　) A．0 B．1 C． D．2 解析　|z|＝|－1－i|＝＝.故选C． 2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　A　) A．10i B．2i C．10 D．2 解析　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i，故选A． 3．(2024·北京高考)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　C　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析　由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i.故选C． 4．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1,1)，b＝(－1,1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．故选B. 5．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　C　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝1＋是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误．故选C． 6．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　B　) A． B． C． D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝.故选B. 7．(2023·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝ 7－i . 解析　(＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i. 学科网（北京）股份有限公司 $$