第3讲 解三角形(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第3讲　解三角形 备考领航·明方向 [高考感悟] 一、考题考法 考题1　(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　C　) A． 　　 B. C． 　　 D. 本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了数学思维与数学探究能力．“边化角，角化边”是解三角形的一般方法，本题为求sin A·sin C应该采用“边化角”．另外注意整体思想的运用，(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C是本题变形的一个关键． 解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.故选C． 考题2　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 本题考查三角形内角和定理，三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数，三角形中的正弦定理，同角三角函数的定义．考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查数形结合、化归转化思想． 解　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sin B，所以2sin＝sin，展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，得sin A＝3cos A，又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，所以sin A＝. (2)由(1)知tan A＝3>0，所以A为锐角，又sin A＝，所以cos A＝，所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝.由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6. 二、考情感悟 　解三角形主要是正弦定理、余弦定理结合三角恒等变换考查边长、角度、面积等问题，小题大题均可能涉及，难度中等．在解三角形时一定要结合几何图形所蕴含的几何关系求解． [主干提炼] 1．正弦定理 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A． 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， cos A＝. 3．三角形的面积公式 S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 考向突破·抓重点 考向一　余弦定理、正弦定理的基本运用 例1　(1)在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为(　A　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 解析　在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝＝＝，又因为c>b，可得C>B，即0°<B<45°，所以B＝30°.故选A． (2)(2024·合肥质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝(　A　) A．1 B． C． D．2 解析　因为2bcos C＝a(2－c)，所以由余弦定理得，2b＝a(2－c)，即a2＋b2－c2＝a2(2－c)，即a2＋c2－b2＝a2c，所以cos B＝＝＝，又因为B＝，所以＝，解得a＝1，故选A． 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 训练1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是(　A　) A．6 B．8 C．4 D．2 解析　由csin A＝acos C及正弦定理可得sin Csin A＝sin Acos C，因为sin A≠0，所以sin C＝cos C，可得tan C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.又c＝2，ab＝8，所以由余弦定理可得12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，所以a＋b＝6.故选A． (2)(2024·东北三校联考)在△ABC中，BC＝2，S△ABC＝·，则△ABC外接圆的半径为_3_. 解析　因为S△ABC＝·，所以×AB×AC×sin A＝×||×||×cos A，又AB＝||，AC＝||，所以sin A＝cos A，又sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＝，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，则sin A＝，记△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝6，所以R＝3. 考向二　三角形周长与面积问题 例2　(1)在△ABC中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.若AB＝3BC＝3，则△ABC的面积是 . 解析　在△ABC中，cos B＝＝＝－，因为0°<B<180°，所以B＝120°.S△ABC＝AB·BCsin 120°＝×3×1×＝. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. ①求A； ②若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解　①由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1，所以sin＝1.因为0<A<π，所以<A＋<，所以A＋＝，故A＝. ②由bsin C＝csin 2B，得bsin C＝2csin Bcos B，由正弦定理，得bc＝2cbcos B，所以cos B＝，因为0<B<π，所以B＝.C＝π－(A＋B)＝，所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 解法一：(基本量法)由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2，c＝＝＝＋.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. 解法二：(整体思想法)由正弦定理＝＝，得＝＝＝4，所以a＋b＋c＝4(sin A＋sin B＋sin C)＝4×＝2＋＋3，所以△ABC的周长为2＋＋3. 三角形中周长、面积的求解，一般利用已知条件进行边角互化，再结合三角恒等变换利用余弦定理和正弦定理求解，必要时也可结合几何图形的特点求解． 训练2　(2022·北京高考)在△ABC中，sin 2C＝sinC． (1)求∠C； (2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长． 解　(1)因为sin 2C＝sin C，所以2sin Ccos C＝sin C．因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，C＝. (2)因为△ABC的面积S＝absin C＝×a×6×＝6，所以a＝4.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1)． 考向三　实际情境中的几何图形问题 例3　(多选题)某校数学课外实践小组欲对一座高塔进行测量，制订如下方案：如图，在A点测得观测塔顶C的仰角为α，再从A沿直线向塔底中心D行走s米到达B点，在B点测得观测塔顶C的仰角为β，根据以上测量数据，得到该塔的高CD为h米，则下列结论正确的是(　ABD　) A．h＝s B．h＝s C．AD＝s D．AD＝s 解析　由题意知AB＝s，∠CAB＝α，∠CBD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝.在Rt△BDC中，h＝BCsin β＝s，即h＝s，故A、B正确；在Rt△BDC中，BD＝＝s，所以AD＝s，故C错误，D正确．故选A、B、D. 解三角形应用问题的要点 (1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素； (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解． 训练3　某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1m，a2m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为(　A　) A． m B． m C． m D． m 解析　设建筑物的高度为x，如图所示，由△HGF∽△DEF，得＝⇒EF＝＝，由△ABC∽△DEC，得＝⇒＝，所以ha＋xa1＝xa2，即x(a1－a2)＝－ha，解得x＝(m)．故选A． 真题体验·练能力 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　C　) A． 　　 B． C． 　　 D． 解析　因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C． 2．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ －1 . 解析　 设BD＝k(k>0)，则有CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，因为k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，所以≥4－＝4－2＝(－1)2，所以当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解　(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2，又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝，则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. (2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，即b2＝×＝，得b＝. 4．(2024·北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B． (1)求∠A； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7； 条件②：cos B＝； 条件③：csin A＝. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由题知，2sin B·cos B＝bcos B．又A为钝角，所以B为锐角，故cos B≠0，所以2sin B＝b.又＝＝＝，所以sin A＝.又A为钝角，所以A＝. (2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知sin B＝＝，又＝，即＝，所以b＝3.又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝. 若选③，由题知c·＝，所以c＝5.由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$