第2讲 三角恒等变换(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第2讲　三角恒等变换 备考领航·明方向 [高考感悟] 一、考题考法 考题1　(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　B　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 本题考查三角恒等变换的基本内容，考查了弦切互化及两角和的正切公式的基本应用，属于容易题． 解析　根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故选B. 考题2　(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　D　) A． B． C． D． 本题考查二倍角公式，是典型的“给值求值”问题，考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 解析　由题意，cos α＝＝1－2sin2 ，得sin2 ＝＝＝2，又α为锐角，所以sin >0，所以sin ＝，故选D. 二、考情感悟 1．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具． 2．三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心． [主干提炼] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝. 4．恒等变换常用结论 (1)sin2α＝，cos2α＝； (2)1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 考向突破·抓重点 考向一　用角度统一思想求值 例1　(2024·山东威海二模)已知sin＝，则cos＝(　C　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为sin＝，所以cos＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.故选C． 在三角函数的化简求值中，往往会出现已知角与所求角不同的情况，此时要观察两个角度之间的关系，通过二倍角公式、诱导公式等进行转化即可得出结果． 训练1　已知α∈，sin＋cos α＝，则sin α＝(　B　) A． B． C． D． 解析　由题意知sin＋cos α＝sin αcos－cos αsin＋cos α＝sin α＋cos α＝sin＝，又－<α＋<，所以cos＝＝.所以sin α＝sin＝sincos－cossin＝.故选B. 考向二　用名称统一思想求值 例2　(2024·重庆市模拟)若＝－，则sin(α－2β)＝(　B　) A．－ B．0 C． D．1 解析　因为＝－，所以＝－＝，即＝，则＝，故2sin(α－β)cos β＝sin α.所以2sin(α－β)cos β＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β，则sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝0，即sin[(α－β)－β]＝sin(α－2β)＝0.故选B. 通过变换函数名称达到便于化简的目的，常用的技巧与方法有“切化弦”“弦化切”，“升幂与降幂”“诱导公式”等． 训练2　(1)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α＝(　D　) A． B． C． D．2 解析　由诱导公式可得sin α＝sin＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此2sin2α－sin αcos α＝＝＝＝2.故选D. (2)若tan＝3cos(α－π)，则cos 2α＝(　D　) A．－1 B． C．0或 D．－1或 解析　由tan＝3cos(α－π)得＝－3cos α，所以＝－3cos α，所以cos α＝0或sin α＝－，故cos 2α＝2cos2α－1＝－1或cos 2α＝1－2sin2α＝.故选D. 考向三　用次数统一思想求值 例3　已知sin 2α＝，则cos2＝(　A　) A． B． C． D． 解析　解法一：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.故选A． 解法二：cos＝cos α－sin α，所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.故选A． 二倍角公式的逆用sin＝，cos＝在升幂、降幂中有着重要作用，将二次式转化为一次式，在统一次数中是常见的技巧． 训练3　(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan，则＝(　A　) A． B． C．1 D． 解析　因为θ∈，所以tan θ∈(－1,0)．由tan 2θ＝－4tan得＝－4，化简整理得2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，解得tan θ＝－2(舍去)或tan θ＝－，所以＝＝＝＝.故选A． 真题体验·练能力 1．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　B　) A．1 B． C． D． 解析　圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝5，圆心C(2,0)，半径r＝，M(0，－2)与C(2,0)之间的距离d＝2，所以sin＝＝，cos＝，tan＝，sin α＝＝＝.故选B. 2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　A　) A． B． C． D． 解析　因为α∈，所以tan 2α＝＝⇒＝⇒2cos2α－1＝4sin α－2sin2α⇒2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α⇒sin α＝⇒tan α＝.故选A． 3．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为 － . 解析　因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－. 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝ － . 解析　由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z,2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$