第1讲 三角函数的图象与性质(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第一篇　专题分层设计 专题一　三角函数、解三角形、平面向量与复数 第1讲　三角函数的图象与性质 备考领航·明方向 [高考感悟] 一、考题考法 考题1　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　C　) A．3 B．4 C．6 D．8 本题考查了三角函数图象的画法及应用，考查了数形结合的数学思想．本题的关键是画y＝2sin，x∈[0,2π]的图象，注意[0,2π]是函数的三个周期，五点法是画图的基本方法．本题源自人教A版必修第一册P237例1.备考时一定深入挖掘课本，课本是高考命题的源泉． 解析　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C． 考题2　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝ － . 本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与三角函数的诱导公式求三角函数的值．考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查函数与方程思想和数形结合思想． 解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①.由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin＝－sin＝－. 二、考情感悟 1．三角函数的图象和性质是高考必考的内容，在高考中多以选择题或填空题的形式出现． 2．高考小题对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，命题以基础性的小综合题为主． [主干提炼] 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：直线x＝kπ＋，k∈Z； 对称中心：(kπ，0)，k∈Z 对称轴：直线x＝kπ，k∈Z； 对称中心：，k∈Z 无对称轴； 对称中心： ，k∈Z 最小正 周期 2π 2π π 单调性 单调递增区间：，k∈Z； 单调递减区间：，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递增区间：，k∈Z； 无单调递减区间 2.三角函数图象的变换 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 3．关于三角函数奇偶性的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数． 考向突破·抓重点 考向一　三角函数的概念…………………………自主练习 1．已知点P(6，－8)是角α终边上一点，则sin＝(　D　) A．－ B． C．－ D． 解析　点P(6，－8)是角α终边上一点，故cos α＝＝，sin＝cos α＝.故选D. 2．(2024·乌鲁木齐质量监测)已知角α(0°<α<360°)的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α＝(　B　) A．130° B．140° C．220° D．230° 解析　sin 310°＝sin(360°－50°)＝sin(－50°)＝cos 140°，cos 310°＝cos(360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°＝sin 40°＝sin 140°.所以α＝140°.故选B. 3．(多选题)(2024·石家庄二模)在平面直角坐标系中，角α的顶点和坐标原点重合，始边和x轴的非负半轴重合，终边经过一点P，且sin α＝x，则x的值可以是(　BC　) A．± B．±1 C．0 D．±2 解析　由三角函数的定义可知，sin α＝＝x，当x＝0时，符合题意；当x≠0时，可得＋x2＝，所以x＝±1.故选BC． 4．若点P(2，y)是角α终边上的一点，且tan＝－2，则y＝_1_. 解析　由点P(2，y)是角α终边上的一点，可得tan α＝.由tan＝－2，可得＝－2.即＝－2，得tan α＝.故y＝1. (1)若角α的终边过点P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(其中r＝)． (2)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况讨论． 考向二　三角函数的图象与解析式 例1　(1)(2024·湖南长沙一中二模)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则(　C　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 解析　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝f＝sin＝sin的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，由于得到的函数的图象与y＝cos x图象重合，故ω＝2，－ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝，故选C． (2)如图是函数f(x)＝Ksin(ωx＋φ)的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且D(0，－1)，△ABC的面积等于，则f(x)的解析式为 f(x)＝2sin . 解析　由题图可知，f(x)的最大值为2.又K>0，所以K＝2.因为△ABC的面积等于，所以K·BC＝，则BC＝，所以T＝2BC＝π，即＝π，得|ω|＝2.又ω>0，故ω＝2.将D(0，－1)代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，得2sin φ＝－1，即sin φ＝－.因为－<φ<，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin. 已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 训练1　(1)为得到函数y＝sin 2x－cos 2x的图象，只需要将函数y＝2sin 2x的图象(　D　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析　因为y＝sin 2x－cos 2x＝2sin＝2sin，所以为得到函数y＝sin 2x－cos 2x的图象，只需要将函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选D. (2)已知函数f(x)＝的一个周期内的图象如图所示，则ω与φ分别等于(　D　) A．1，－ B．1， C．2， D．2，－ 解析　由题图可知f(x)的周期为T＝－＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以函数f(x)＝.又由图象可知x＝＝处函数值为1，则＝1，即sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，故选D. 考向三　三角函数的图象与性质 角度1：三角函数的基本性质 例2　(多选题)(2024·大连市一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若f＝f＝1，且∀x∈，都有f(x)<1，则(　BC　) A．y＝f(x)在上单调递减 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．直线y＝－x＋是曲线y＝f(x)的一条切线 D．y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)是偶函数 解析　由题意知，f(x)的最小正周期T＝－＝π，则T＝＝π，所以ω＝2，又f＝sin＝1，所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，结合正弦函数的图象知，f(x)在上先减后增，故A错误．对于B，当x＝时，2x＋＝2π，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故B正确．对于C，f′(x)＝2cos，所以f′(0)＝2cos＝－，又f(0)＝sin＝，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝－x＋，故C正确．对于D，y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin，可知函数g(x)不是偶函数，故D错误．综上，选BC． 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 训练2　(1)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)满足f(x1)－f(x2)＝4，且|x1－x2|的最小值为，则f＝(　A　) A． B．1 C． D．2 解析　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ω>0)，则f(x)max＝2，f(x)min＝－2，则f(x1)－f(x2)＝4＝f(x)max－f(x)min，设函数f(x)的最小正周期为T，则|x1－x2|min＝＝，所以T＝π＝，可得ω＝2，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x，因此，f＝sin－cos＝，故选A． (2)已知函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象．若对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，则|m－n|的最小值为 . 解析　函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图象．因为x1∈，所以2x1∈，所以f(x1)＝cos 2x1∈，因为对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含，根据余弦函数的性质，要使|m－n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m，n]上单调且值域为即可．由2kπ－≤2x－≤2kπ(k∈Z)可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，因此|m－n|的最小值为|－－|＝. 角度2：“ω”的求解 例3　(1)(2024·北京高考)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为f(x)＝sin ωx∈[－1,1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.故选B. (2)(2024·贵阳市一模)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(　B　) A． B． C． D．(0,1] 解析　将f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到h(x)＝sin的图象，将h(x)图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的得到g(x)的图象．所以g(x)＝sin，x∈时，ωx－∈.因为g(x)在上单调递增，所以－≤－－<－，得0<ω≤.故选B. 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 训练3　若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　B　) A． B． C． D． 解析　因为ω>0，所以当x∈时，ωx－∈.又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，所以≤－≤，解得≤ω≤3.故选B. 真题体验·练能力 1．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　D　) A．－ B．－ C． D． 解析　由题可知，＝－＝，当ω>0时，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.当w<0时，ω＝－2，易得f＝.故选D. 2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　BC　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC． 3．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示． 考虑x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－函数值的大小关系：f＝－sin＝－1，×－＝－<－1；f＝－sin＝1，×－＝<1；f＝－sin＝1，×－＝>1.所以f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3，故选C． 4．(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　A　) A．1 B． C． D．3 解析　因为<T<π，所以<<π.又因为ω>0，所以2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－＋k，k∈Z.令2<－＋k<3，解得<k<.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝1.故选A． 5．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　AD　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确；对于C，因为f＝sin＝sin 3π＝0，所以x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)时，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．综上所述，选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$