精品解析：江西省赣州市安远县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度上学期期中练习九年级数学 一、选择题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选B． 5. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=1，∠B=60°，则CE的长为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE，由题干条件可知△ADB为等边三角形，易证AD=CD=1和∠ADE=∠CDE=60°，则可证△ADE≌△CDE，可得到CE=AE. 【详解】解：连接CE， 由AB=AD且∠B=60°可得△ADB为等边三角形，则DB=1且∠ADB=60°，由于∠ADE=60°，则∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE=60°，再由CD=2-DB=1=AD，可得△ADE≌△CDE，则CE=AE=AC=. 故选择C. 【点睛】本题综合考察了旋转、三角形全等. 6. 如图，二次函数经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，则．其中，正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征， ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为，可得抛物线与x轴的一个交点为，然后根据增减性得出当时对应的函数值，即可判断； ④根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与y轴交点在轴下方， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， 又∵当时，， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述，①②④正确，正确的结论有个． 故选：C． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是 故答案为：． 9. 若，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中， ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则的度数为_______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线对称的点为， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质． 12. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转角时（0°＜＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时， 的值为________． 【答案】50°或65°或80° 【解析】 【分析】分三种情形讨论①如图1中，当AC=AP时，②如图2中，当PC=PA时，③如图3中，当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，∵∠ACB=90°，AO=OB， ∴OC=OA=OB， ∴∠OAC=∠ACO=25°，∠COB=50°，∠AOC=130° ①如图1中， 当AC=AP时， 在△AOC和△AOP中， ， ∴△AOC≌△AOP， ∴∠AOC=∠AOP=130°， ∴α=∠POB=50°． ②如图2中，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC ∴ ∴α=∠POB=∠POC-∠COB=65°． ③如图3中，当CA=CP时， 同理可证△COA≌△COB， ∴∠COP=∠AOC=130°， ∴α=∠POB=∠POC-∠COB=80° 故答案为：50°或65°或80°． 【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； 【小问1详解】 解：原式化简为：， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：原式化简得：， 则或， ∴，． 14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角，使点C在格点上； （2）在图2中的线段上作点Q，使最短． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的点； 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可； （2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标； （2）令，求出或，则可求出，的坐标，由图象可求出自变量的取值范围． 【详解】解：（1）将代入得， ， ， ， 顶点坐标为； （2）令得， 解得，， ，， 当时，自变量的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图象与轴的交点． 16. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，在给出的平面直角坐标系中： （1）点绕点顺时针方向旋转后所对应的坐标是___________； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）见解析， （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查图形在平面直角坐标系中的变换，解题的关键是点的坐标． （1）作绕点顺时针旋转得，进而得到的坐标； （2）关于原点成中心对称的，则点，，与点，，的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：绕点顺时针旋转，如图所示， 由图可得点， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据关于原点成中心对称的，作图如下， ∵关于原点成中心对称的 ∴与点的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数， ∴． 【小问3详解】 解： 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为． 答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式． 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，绕点逆时针旋转，得到，点落在的延长线上，延长交的延长线于点，交于，连接，，已知． （1）试说明为等边三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质得出，则，进而可得，则是等边三角形； （）由等边三角形的性质可知，则，然后即可求解； 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由旋转性质得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点B在线段上，点C在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． （2）如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在的延长线上，连结．若，，求线段的长； （3）若P为中点，连接，，，当绕点A逆时针旋转时，直接写出的最大值__________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）证明得，，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接，，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点A逆时针旋转时，，所以当A、B、P三点共线时，最大，最大值等于，即可求解． 【小问1详解】 解：成立，和都是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ， ，， ， ， ； ． 【小问3详解】 ：连接，，如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵P为中点， ∴， 当绕点A逆时针旋转时， ， ∴当A、B、P三点共线时，最大，最大值等于， ∵， ∴最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，证明是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知二次函数． （1）有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号） ①二次函数的图象开口向上； ②二次函数的图象的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当时，①抛物线的顶点坐标为______； ②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______； （3）设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②③ （2）①（1，2）；②； （3）存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，m的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图形的性质判断； （2）①代值计算即可；②根据翻折的后的顶点坐标直接解出函数解析式； （3）根据正方形的性质找到点的坐标之间的关系，列方程求解即可． 【小问1详解】 当时，抛物线的开口向上，故①不一定正确； 抛物线的对称轴为直线，故②正确； 在中，时时，即抛物线经过定点（0，3）和（2，3），故③正确； 二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故④不正确； 故答案为：②③； 【小问2详解】 当时，， ①∵， ∴抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②∵将抛物线沿x轴翻折得到抛物线， ∴抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴抛物线的表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 存在实数m，使得以点为顶点的四边形为正方形，理由如下： 如图： 在中，令得， ∴E（0，3）， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴F（2，3）， 在中，令得， ∴P（1，3﹣m）， ∵P，Q关于直线对称， ∴Q（1，3+m）， 由对称性知EF，PQ互相平分，且， ∴以点为顶点的四边形为正方形，只需， ∴， 解得或， ∴m的值为1或． 【点睛】此题考查二次函数的几何综合，解题关键是找到特殊点的坐标代值计算，解题技巧是根据正方形的推论出边长的关系，转化成点的坐标直接计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期中练习九年级数学 一、选择题（共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=1，∠B=60°，则CE的长为（　　） A. 2 B. C. D. 6. 如图，二次函数经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，则．其中，正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 7. 点关于原点对称的点的坐标是________． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是______． 9. 若，是方程的两根，则______． 10. 如图，在中， ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则的度数为_______． 11. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 12. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转角时（0°＜＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时， 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角，使点C在格点上； （2）在图2中的线段上作点Q，使最短． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围． 16. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 17. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，在给出的平面直角坐标系中： （1）点绕点顺时针方向旋转后所对应的坐标是___________； （2）作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标； （3）求出的面积． 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，绕点逆时针旋转，得到，点落在的延长线上，延长交的延长线于点，交于，连接，，已知． （1）试说明为等边三角形； （2）求四边形的面积． 22. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点B在线段上，点C在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． （2）如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在的延长线上，连结．若，，求线段的长； （3）若P为中点，连接，，，当绕点A逆时针旋转时，直接写出的最大值__________． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知二次函数． （1）有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号） ①二次函数的图象开口向上； ②二次函数的图象的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当时，①抛物线的顶点坐标为______； ②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______； （3）设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $