精品解析：安徽省阜阳市太和县初三九年级期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学 （人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列说法正确的有（　　） A. 经过圆心的线段是直径 B. 直径是同一个圆中最长的弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 弧分为优弧和劣弧 4. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 如图，点A，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 7. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（ ） A. 可以由绕点逆时针旋转得到 B. 点与的距离为5 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球经过____________秒落到地面． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 14. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点． （1）的度数为______； （2）若，，则的长是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移5个单位得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 18. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1）______； （2）猜想：______． （3）连接，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 20. 如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接． （1）求的大小（用含的式子表示）． （2）求证，． 六、（本题满分12分） 21. 阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 七、（本题满分12分） 22. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 八、（本题满分14分） 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． （1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线顶点式（，a，h，k）的对称轴性质来即可求解． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为直线． 故选：A． 3. 下列说法正确的有（　　） A. 经过圆心的线段是直径 B. 直径是同一个圆中最长的弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 弧分为优弧和劣弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可． 【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意； D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练一元二次方程的解得定义是解题的关键； 根据是方程的一个根，代入方程即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 将代入得 解得． 故选：B． 5. 如图，点A，，在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理可得，然后再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：A． 7. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：C． 8. 如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接、，交于，根据圆的性质可知：米，，根据垂径定理可知：(米)，，利用勾股定理求出的长度，再用圆的半径减去的长度即为点到弦所在直线的距离． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于， 根据圆的性质可知：米，， (米)，， (米)， (米)， 点到弦所在直线的距离是米， 故选：A． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 10. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（ ） A. 可以由绕点逆时针旋转得到 B. 点与的距离为5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由旋转性质以及等边三角形的性质证明，即可得出A选项是正确的；由旋转，得是等边三角形，则，故点与的距离为4，则选项B错误；结合全等三角形的性质以及，故是直角三角形，则，故选项C正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为，证明是等边三角形，再得出是直角三角形．接着得，运用勾股定理算出，结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：如图1，连接，过点作，垂足为． 由旋转，得，． 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故选项A正确； 由旋转，得，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4，故选项B错误； 是等边三角形， ． ， ， ， 是直角三角形，， ， 故选项C正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为， 则，，， 是等边三角形， ，． ， ， 是直角三角形． 在中，， ． 由勾股定理得，， 故选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球经过____________秒落到地面． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数的自变量，令，解出t即可作答． 【详解】解：当小球落到地面时，， ∴， 解得：，或（舍去）， 故答案为：2． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点． （1）的度数为______； （2）若，，则的长是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查的是圆的综合题，三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，三角函数的应用，解题的关键是添加适当辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求解， （1）根据圆周角定理即可得到结论； （2）连接，过点作于点，作于点，根据圆周角定理可得，根据三角函数和勾股定理可得，，即可求的长． 【详解】解：（1）是的外接圆，， ； （2）如图，连接，过点作于点，作于点， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， ，， ， 在中，， ， 故答案为：；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】将方程左边分解因式得： ， ， 所以或， 所以. 【点睛】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移5个单位得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1） 如图，即为所画： （2） 如图，即为所画： 【解析】 【分析】（1）根据平衡规律得到点，再连接即可得到； （2）由旋转的性质得到点，再连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 18. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1）______； （2）猜想：______． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题； （2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题； （3）同（2）先算出，进而得到，根据的面积的面积的面积列式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，，，， ， ， 结合旋转的性质，以及，，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长， ， ； 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ， ， 的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，旋转的性质，图形的规律，解题的关键在于结合旋转的性质得到图形的规律． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，证明是解本题的关键． （1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质可证； （2）先根据勾股定理得到，再利用中位线的性质得到，最后利用即可得解； 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ， 平分． 【小问2详解】 是的直径， ． 在中，由勾股定理得 ． ，， ， 即， ． ， 为的中位线， ． ， ， ． 20. 如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接． （1）求的大小（用含的式子表示）． （2）求证，． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）利用旋转的性质得到，表示出，再利用等腰三角形的性质，可得答案； （2）连接，证明，即得到，即可证明， 熟练掌握等腰三角形的性质进行角度转换，想到证明，即证明为等腰直角三角形，从而作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴．， 由题意得，： ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴ 是等腰直角三角形， ∴根据勾股定理可得． 六、（本题满分12分） 21. 阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 【答案】（1）见解析； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题． （1）如图1，在上截取，连接，，，，首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）如图2所示在上截取，首先通过等腰直角三角形利用勾股定理得，再证明，进而得出，以及，进而求出的周长即可． 【小问1详解】 证明：如图1所示，在上截取，连接，，，， 是的中点， ， 又所对圆周角为与， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2所示，在上截取， ， ， ， ∴， ， 又所对圆周角为与， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 答：的周长为． 七、（本题满分12分） 22. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1），； （2） （3）她当天的比赛能成功完成此动作． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 八、（本题满分14分） 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． （1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 【答案】（1）“三倍点”坐标为； （2）当时，；当时，； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 抛物线的解析式为． 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入，得， 整理，得，解得， “三倍点”坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线． 当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则； 当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则． 综上，当时，；当时，． 【小问3详解】 由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $